Страница 84 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен дискриминант уравнения $4x^2 + 3x - 5 = 0$?

1) 89

2) 86

3) 29

4) -41

1.

Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, которое имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$, применяется формула $D = b^2 - 4ac$.

В заданном уравнении $4x^2 + 3x - 5 = 0$ определим значения коэффициентов:
$a = 4$
$b = 3$
$c = -5$

Теперь подставим найденные коэффициенты в формулу для вычисления дискриминанта:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)$
$D = 9 - 16 \cdot (-5)$
$D = 9 - (-80)$
$D = 9 + 80$
$D = 89$

Таким образом, дискриминант уравнения равен 89. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 89

2. Какое из данных уравнений имеет единственный корень?

1) $2x^2 - x - 1 = 0$

2) $2x^2 - 2x + 0,5 = 0$

3) $2x^2 - 2x + 5 = 0$

4) $2x^2 - x + 0,5 = 0$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Проверим каждое из предложенных уравнений.

1) $2x^2 - x - 1 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.
Найдем дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

2) $2x^2 - 2x + 0,5 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты: $a=2$, $b=-2$, $c=0,5$.
Найдем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0,5 = 4 - 4 = 0$.
Поскольку $D = 0$, уравнение имеет единственный корень.

3) $2x^2 - 2x + 5 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты: $a=2$, $b=-2$, $c=5$.
Найдем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 - 40 = -36$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

4) $2x^2 - x + 0,5 = 0$
Для этого уравнения коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=0,5$.
Найдем дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0,5 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное уравнение, которое имеет один корень, — это уравнение под номером 2.

Ответ: 2

3. Решите уравнение:

1) $\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3 = 0;$

2) $5x^2 - 2x - 3 = 0;$

3) $45 + 7x - 3x^2 = (x + 6)^2;$

4) $\frac{2x+1}{3} - \frac{x^2-1}{4} = 1;$

5) $x^4 = (x - 12)^2;$

6) $x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18.$

1) $\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Для удобства решения умножим все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 2$, $b = -9$, $c = 9$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1,5; 3.

2) $5x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 5$, $b = -2$, $c = -3$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Ответ: -0,6; 1.

3) $45 + 7x - 3x^2 = (x + 6)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$45 + 7x - 3x^2 = x^2 + 12x + 36$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 12x + 36 - 45 - 7x + 3x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 5x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169$

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} = -2.25$

Ответ: -2,25; 1.

4) $\frac{2x + 1}{3} - \frac{x^2 - 1}{4} = 1$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12:

$12 \cdot \frac{2x + 1}{3} - 12 \cdot \frac{x^2 - 1}{4} = 12 \cdot 1$

$4(2x + 1) - 3(x^2 - 1) = 12$

Раскроем скобки:

$8x + 4 - 3x^2 + 3 = 12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$-3x^2 + 8x + 7 - 12 = 0$

$-3x^2 + 8x - 5 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$3x^2 - 8x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: 1; $\frac{5}{3}$.

5) $x^4 = (x - 12)^2$

Перепишем уравнение в виде $(x^2)^2 = (x - 12)^2$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x^2 = x - 12$

2) $x^2 = -(x - 12)$

Решим каждое уравнение отдельно.

Для первого случая: $x^2 - x + 12 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Для второго случая: $x^2 = -x + 12$

$x^2 + x - 12 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 3.

6) $x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$5 - x \ge 0$

$x \le 5$

Теперь решим само уравнение. Заметим, что слагаемое $\sqrt{5 - x}$ есть в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей:

$x^2 - 3x = 18$

Перенесем 18 в левую часть:

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Корни находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 5$).

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 5$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le 5$.

Ответ: -3.