Номер 3, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных иррациональных числа.

1) $x^2 - 4 = 0$

2) $x^2 - 4x = 0$

3) $x^2 - 2 = 0$

4) $x^2 - 2x = 0$

Чтобы определить, какое из уравнений имеет два противоположных иррациональных корня, необходимо найти корни каждого уравнения и проверить, удовлетворяют ли они заданным условиям. Два числа являются противоположными, если их сумма равна нулю (например, $a$ и $-a$). Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде простой дроби (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$).

1) $x^2 - 4 = 0$

Решим уравнение, перенеся 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, получаем два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Корни являются противоположными, но они рациональные (целые) числа. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни не являются противоположными, так как их сумма $0 + 4 = 4$, а не 0. Этот вариант не подходит.

3) $x^2 - 2 = 0$

Решим уравнение, перенеся 2 в правую часть:

$x^2 = 2$

Извлекая квадратный корень, получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Корни $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ являются противоположными, так как их сумма $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Так как 2 не является полным квадратом, $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Таким образом, оба корня являются противоположными и иррациональными. Этот вариант подходит.

4) $x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни этого уравнения:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти корни не являются противоположными. Этот вариант не подходит.

Итак, единственное уравнение, удовлетворяющее всем условиям, — это $x^2 - 2 = 0$.

Ответ: 3