Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $ \frac{x^2 - 2x - 63}{x^2 - 5x - 36} $.

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 2x - 63$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2} = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2} = \frac{2 - 16}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Таким образом, разложение числителя на множители имеет вид: $x^2 - 2x - 63 = (x - 9)(x - (-7)) = (x - 9)(x + 7)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - 5x - 36$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, разложение знаменателя на множители имеет вид: $x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 - 2x - 63}{x^2 - 5x - 36} = \frac{(x - 9)(x + 7)}{(x - 9)(x + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x - 9)$ при условии, что $x - 9 \neq 0$, то есть $x \neq 9$.

$\frac{\cancel{(x - 9)}(x + 7)}{\cancel{(x - 9)}(x + 4)} = \frac{x + 7}{x + 4}$.

Ответ: $\frac{x + 7}{x + 4}$.

8. Решите уравнение $x + \frac{16}{x} = 10$.

Дано уравнение $x + \frac{16}{x} = 10$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть деление на $x$, знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю, умножив обе части на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):
$x \cdot x + \frac{16}{x} \cdot x = 10 \cdot x$
$x^2 + 16 = 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=16$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба найденных корня ($8$ и $2$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 2; 8.

9. Решите уравнение $\frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = 1$.

Исходное уравнение:$$ \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = 1 $$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:$$ x^2 - 4 \neq 0 $$$$ (x - 2)(x + 2) \neq 0 $$Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь, когда мы определили ОДЗ, можем приступить к решению уравнения. Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 4$:$$ 2x^2 + 7x + 6 = 1 \cdot (x^2 - 4) $$$$ 2x^2 + 7x + 6 = x^2 - 4 $$

Перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 2x^2 - x^2 + 7x + 6 + 4 = 0 $$$$ x^2 + 7x + 10 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=7$, $c=10$:$$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$$$ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

На последнем этапе необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни области допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
- Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 \neq 2$ и $-5 \neq -2$.
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель исходного уравнения при $x = -2$ обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: $-5$

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 - 9x)^2 - 3(x^2 - 9x) - 70 = 0.$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - 9x)$ повторяется в уравнении.

Пусть $t = x^2 - 9x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Рассмотрим случай, когда $t = 10$.

$x^2 - 9x = 10$

Перенесем 10 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - 10 = 0$

Найдем его дискриминант:

$D_1 = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

2. Рассмотрим случай, когда $t = -7$.

$x^2 - 9x = -7$

Перенесем -7 в левую часть:

$x^2 - 9x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_2 = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 81 - 28 = 53$

Поскольку $D_2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_3 = \frac{9 + \sqrt{53}}{2}$

$x_4 = \frac{9 - \sqrt{53}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 10; \frac{9 - \sqrt{53}}{2}; \frac{9 + \sqrt{53}}{2}.$

11. Лыжник прошёл 9 км за 1 ч. Первые 4 км он прошёл с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 2 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость лыжника.

Пусть первоначальная скорость лыжника равна $x$ км/ч.

Первые 4 км он прошёл со скоростью $x$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{4}{x}$ ч.

Оставшаяся часть пути равна $9 - 4 = 5$ км.

Скорость на второй части пути была на 2 км/ч больше, то есть $v_2 = x + 2$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5}{x+2}$ ч.

Общее время в пути составляет 1 час. Мы можем составить уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{4}{x} + \frac{5}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$. Учтём, что $x>0$, так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{4(x+2) + 5x}{x(x+2)} = 1$

$4(x+2) + 5x = x(x+2)$

$4x + 8 + 5x = x^2 + 2x$

$9x + 8 = x^2 + 2x$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 9x - 8 = 0$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, первоначальная скорость лыжника составляет 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.

12. Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 л она заполняет на 3 мин быстрее, чем вторая?

Пусть производительность второй трубы равна $x$ литров в минуту. Тогда, согласно условию, производительность первой трубы составляет $x + 5$ литров в минуту.

Резервуар объёмом 180 литров вторая труба заполнит за время $t_2 = \frac{180}{x}$ минут.

Первая труба заполнит тот же резервуар за время $t_1 = \frac{180}{x+5}$ минут.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 3 минуты быстрее, чем вторая. Это означает, что разница во времени заполнения составляет 3 минуты: $t_2 - t_1 = 3$.

Составим уравнение на основе этих данных:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{60x + 300 - 60x}{x^2 + 5x} = 1$
$\frac{300}{x^2 + 5x} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 5x = 300$
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность трубы (скорость потока воды) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, производительность второй трубы составляет 15 л/мин.

В задаче требуется найти, сколько литров воды в минуту пропускает первая труба. Её производительность равна $x + 5$:
$15 + 5 = 20$ (л/мин)

Ответ: 20.