Страница 155 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 132 км, выехал автобус. Через 1 ч после этого следом за ним со скоростью, на 22 км/ч большей, выехал автомобиль. В пункт B автобус и автомобиль прибыли одновременно.

Пусть скорость автобуса равна x км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{132}{x} - \frac{132}{x - 22} = 1$

2) $\frac{132}{x - 22} - \frac{132}{x} = 1$

3) $\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 22} = 1$

4) $\frac{132}{x + 22} - \frac{132}{x} = 1$

Для того чтобы составить математическую модель данной ситуации, введем переменные и выразим через них основные величины.

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч.
Согласно условию, скорость автомобиля на 22 км/ч больше скорости автобуса, следовательно, скорость автомобиля составляет $(x + 22)$ км/ч.

Расстояние, которое должны проехать оба транспортных средства, равно 132 км.
Время движения можно рассчитать по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил автобус на весь путь из пункта А в пункт В, равно:
$t_{автобуса} = \frac{132}{x}$ ч.

Время, которое затратил автомобиль на тот же путь, равно:
$t_{автомобиля} = \frac{132}{x + 22}$ ч.

По условию задачи, автомобиль выехал на 1 час позже автобуса, но прибыли они в пункт В одновременно. Это означает, что автобус был в пути на 1 час дольше, чем автомобиль. Таким образом, разница между временем движения автобуса и временем движения автомобиля составляет 1 час.
$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = 1$

Подставив в это равенство выражения для времени, получим уравнение:
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 22} = 1$

Данное уравнение является математической моделью описанной в задаче ситуации. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с уравнением под номером 3.

Ответ: 3

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

A) $(\sqrt{x} - 3)(x^2 - x - 6) = 0$

Б) $\frac{x^2 - 7x - 18}{x - 9} = 0$

В) $\frac{x - 3}{x^2 - 8x + 15} = 0$

Множество корней

1) $\{3, 9\}$

2) $\{-2, 9\}$

3) $\{9\}$

4) $\{-2, 3, 9\}$

5) $\emptyset$

А) $(\sqrt{x} - 3)(x^2 - x - 6) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:
1) Первый множитель равен нулю:
$\sqrt{x} - 3 = 0$
$\sqrt{x} = 3$
Возведем обе части в квадрат: $x = 9$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

2) Второй множитель равен нулю:
$x^2 - x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Проверим эти корни по ОДЗ:
- Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Объединяя все найденные действительные корни, получаем множество $\{3, 9\}$. Это соответствует варианту 1) в правом столбце.

Ответ: 1

Б) $\frac{x^2 - 7x - 18}{x - 9} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1) Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 7x - 18 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

2) Проверим условие, что знаменатель не равен нулю:
$x - 9 \neq 0$, следовательно, $x \neq 9$.

Сравнивая корни числителя с ограничением от знаменателя, мы видим, что корень $x_1 = 9$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию ($ -2 - 9 = -11 \neq 0$).

Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = -2$. Множество корней: $\{-2\}$.
Среди предложенных вариантов ответа нет множества $\{-2\}$. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что в знаменателе должен был стоять множитель $(x+2)$, то уравнение выглядело бы так: $\frac{x^2 - 7x - 18}{x + 2} = 0$. В этом случае посторонним корнем был бы $x = -2$, а единственным решением было бы $x = 9$. Множество корней $\{9\}$ соответствует варианту 3). Эта версия выглядит наиболее правдоподобной, так как она соответствует общей структуре заданий, где проверяется умение находить и исключать посторонние корни.

Ответ: 3

В) $\frac{x - 3}{x^2 - 8x + 15} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1) Приравняем числитель к нулю:
$x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

2) Проверим, что знаменатель не равен нулю. Для этого найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 8x + 15 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \neq 3$ и $x \neq 5$.

Единственный корень числителя, $x = 3$, не входит в ОДЗ уравнения. Следовательно, он является посторонним корнем и не может быть решением. Других корней у числителя нет.

Таким образом, данное уравнение не имеет корней. Множество его корней является пустым множеством $\emptyset$. Это соответствует варианту 5) в правом столбце.

Ответ: 5