Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 140 км, одновременно отправились два катера. Скорость первого катера была на 8 км/ч больше скорости второго катера, поэтому первый катер прибыл к пристани В на 2 ч раньше второго.

Пусть скорость первого катера равна $x$ км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x+8} = 2$

2) $\frac{140}{x+8} - \frac{140}{x} = 2$

3) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x-8} = 2$

4) $\frac{140}{x-8} - \frac{140}{x} = 2$

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений является верной математической моделью, необходимо проанализировать условие задачи и выразить все величины через переменную $x$.

Согласно условию задачи:

• Расстояние между пристанями A и B: $S = 140$ км.
• Скорость первого катера: $v_1 = x$ км/ч.
• Скорость первого катера на 8 км/ч больше скорости второго. Следовательно, скорость второго катера на 8 км/ч меньше скорости первого. Таким образом, скорость второго катера: $v_2 = x - 8$ км/ч.

Время, которое каждый катер затратил на путь, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$:

• Время движения первого катера: $t_1 = \frac{140}{x}$ ч.
• Время движения второго катера: $t_2 = \frac{140}{x - 8}$ ч.

Из условия известно, что первый катер прибыл к пристани B на 2 часа раньше второго. Это означает, что время, затраченное вторым (более медленным) катером, на 2 часа больше, чем время, затраченное первым (более быстрым) катером. Это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 2$

Теперь подставим в это равенство выражения для времени $t_1$ и $t_2$:

$\frac{140}{x - 8} - \frac{140}{x} = 2$

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно полностью совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

А) $ (\sqrt{x} - 5)(x^2 - x - 20) = 0 $

Б) $ \frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = 0 $

В) $ \frac{x - 3}{x^2 - 11x + 24} = 0 $

Множество корней

1) $ \emptyset $

2) $ \{-4, 3\} $

3) $ \{-4, 5, 25\} $

4) $ \{5, 25\} $

5) $ \{-4\} $

А) Решим уравнение $(\sqrt{x} - 5)(x^2 - x - 20) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
1. Приравняем первый множитель к нулю: $\sqrt{x} - 5 = 0 \implies \sqrt{x} = 5 \implies x = 25$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).
2. Приравняем второй множитель к нулю: $x^2 - x - 20 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 0$).
$x_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 0$), поэтому он не является решением исходного уравнения.
Таким образом, множество корней уравнения А — это $\{5, 25\}$. Это соответствует варианту 4.
Ответ: 4

Б) Решим уравнение $\frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю: $x^2 + x - 12 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни числителя: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.
2. Проверим условие неравенства знаменателя нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Корень $x_1 = 3$ не является решением уравнения, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль.
Корень $x_2 = -4$ является решением, так как $-4 - 3 = -7 \neq 0$.
Следовательно, множество корней уравнения Б — это $\{-4\}$. Это соответствует варианту 5.
Ответ: 5

В) Решим уравнение $\frac{x - 3}{x^2 - 11x + 24} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Приравняем числитель к нулю: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль при $x = 3$. Для этого подставим $x = 3$ в выражение $x^2 - 11x + 24$:
$3^2 - 11 \cdot 3 + 24 = 9 - 33 + 24 = 0$.
Поскольку при $x=3$ знаменатель равен нулю, это значение не является корнем уравнения. Других значений, при которых числитель равен нулю, нет.
Следовательно, уравнение не имеет корней, и его множество корней является пустым множеством $\emptyset$. Это соответствует варианту 1.
Ответ: 1