Номер 4, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$. Укажите этот рисунок.

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Найдем область определения функции.

Функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Это означает, что график функции имеет разрыв в точке с абсциссой $x = 2$. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка.

2. Упростим выражение для функции.

Разложим числитель $10 - 3x - x^2$ на множители. Сначала вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 + 3x - 10)$.

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 10$ приравняв его к нулю: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -3$

$x_1 \cdot x_2 = -10$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

Тогда $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.

Следовательно, числитель исходной функции равен $-(x - 2)(x + 5)$.

Подставим разложенный числитель обратно в функцию:

$y = \frac{-(x - 2)(x + 5)}{x - 2}$

3. Сократим дробь с учетом области определения.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = -(x + 5)$

$y = -x - 5$

Таким образом, график исходной функции является прямой линией $y = -x - 5$ с выколотой точкой при $x = 2$.

4. Проанализируем полученную линейную функцию и сравним с графиками.

График функции $y = -x - 5$ — это прямая. Угловой коэффициент $k = -1$ (отрицательный), значит, функция является убывающей. Этому условию соответствуют графики под номерами 1 и 3.

Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x = 2$ в уравнение упрощенной функции:

$y = -2 - 5 = -7$

Значит, на графике должна быть выколотая точка с координатами $(2, -7)$.

Сравним графики 1 и 3:

• На рисунке 1 изображена сплошная прямая, без выколотых точек.
• На рисунке 3 изображена убывающая прямая, которая проходит через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$, и имеет выколотую точку с координатами $(2, -7)$.

Следовательно, график на рисунке 3 полностью соответствует функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$.

Ответ: 3