Номер 11, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Турист прошёл 13 км за 3 ч. Первые 8 км он прошёл с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 1 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость туриста.

Пусть первоначальная скорость туриста равна $v$ км/ч. Тогда скорость на остальной части пути была $(v + 1)$ км/ч.

Время, затраченное на первые 8 км, составляет $t_1 = \frac{8}{v}$ ч.

Оставшаяся часть пути равна $13 - 8 = 5$ км. Время, затраченное на эту часть пути, составляет $t_2 = \frac{5}{v + 1}$ ч.

Общее время в пути — 3 часа. Составим и решим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 3$

$\frac{8}{v} + \frac{5}{v + 1} = 3$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v + 1)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей. При этом учтём, что скорость $v$ должна быть больше нуля ($v > 0$).

$8(v + 1) + 5v = 3v(v + 1)$

Раскроем скобки:

$8v + 8 + 5v = 3v^2 + 3v$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону и приведём подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3v^2 + 3v - 13v - 8 = 0$

$3v^2 - 10v - 8 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$a = 3, b = -10, c = -8$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$v_2 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 14}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -\frac{2}{3}$ не подходит.

Следовательно, первоначальная скорость туриста равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.