Номер 12, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Первая труба пропускает на 10 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 60 л она заполняет на 3 мин дольше, чем вторая?

Пусть $x$ л/мин — производительность (скорость пропускания воды) первой трубы.

По условию, первая труба пропускает на 10 л воды в минуту меньше, чем вторая. Следовательно, производительность второй трубы составляет $(x + 10)$ л/мин.

Время, необходимое для заполнения резервуара объемом 60 л, вычисляется по формуле $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объем, а $P$ — производительность.

Время заполнения резервуара первой трубой: $t_1 = \frac{60}{x}$ мин.

Время заполнения резервуара второй трубой: $t_2 = \frac{60}{x+10}$ мин.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Это можно выразить уравнением:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$. Область допустимых значений переменной $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{60(x+10) - 60x}{x(x+10)} = 3$

$\frac{60x + 600 - 60x}{x^2 + 10x} = 3$

$\frac{600}{x^2 + 10x} = 3$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3(x^2 + 10x) = 600$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + 10x = 200$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 200 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 30}{2}$

$x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность трубы $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, производительность первой трубы составляет 10 л/мин.

Ответ: 10