Номер 9, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Решите уравнение $\frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = 1$.

Исходное уравнение:$$ \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4} = 1 $$

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:$$ x^2 - 4 \neq 0 $$$$ (x - 2)(x + 2) \neq 0 $$Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь, когда мы определили ОДЗ, можем приступить к решению уравнения. Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 4$:$$ 2x^2 + 7x + 6 = 1 \cdot (x^2 - 4) $$$$ 2x^2 + 7x + 6 = x^2 - 4 $$

Перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 2x^2 - x^2 + 7x + 6 + 4 = 0 $$$$ x^2 + 7x + 10 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=7$, $c=10$:$$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$$$ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

На последнем этапе необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни области допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
- Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 \neq 2$ и $-5 \neq -2$.
- Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель исходного уравнения при $x = -2$ обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -5$.

Ответ: $-5$