Номер 3, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите верное равенство.

1) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)\left(x + \frac{8}{7}\right)$

2) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)\left(x - \frac{8}{7}\right)$

3) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)(7x + 8)$

4) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)(7x - 8)$

Для того чтобы указать верное равенство, нужно разложить квадратный трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала найдем корни уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=7$, $b=1$, $c=-8$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 - 15}{14} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{-1 + 15}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -\frac{8}{7}$ и $x_2 = 1$ в формулу разложения на множители:
$7x^2 + x - 8 = 7\left(x - \left(-\frac{8}{7}\right)\right)(x - 1) = 7\left(x + \frac{8}{7}\right)(x - 1)$.

Преобразуем полученное выражение, внеся множитель 7 в первую скобку:
$7\left(x + \frac{8}{7}\right)(x - 1) = (7 \cdot x + 7 \cdot \frac{8}{7})(x - 1) = (7x + 8)(x - 1)$.

Таким образом, мы разложили трехчлен на множители: $7x^2 + x - 8 = (7x + 8)(x - 1)$.

Теперь проверим предложенные варианты равенств.

1) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)\left(x + \frac{8}{7}\right)$
Раскроем скобки в правой части: $(x - 1)(x + \frac{8}{7}) = x^2 + \frac{8}{7}x - x - \frac{8}{7} = x^2 + \frac{1}{7}x - \frac{8}{7}$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)\left(x - \frac{8}{7}\right)$
Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(x - \frac{8}{7}) = x^2 - \frac{8}{7}x + x - \frac{8}{7} = x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{8}{7}$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) $7x^2 + x - 8 = (x - 1)(7x + 8)$
Раскроем скобки в правой части: $(x - 1)(7x + 8) = 7x^2 + 8x - 7x - 8 = 7x^2 + x - 8$. Правая часть совпадает с левой. Это равенство совпадает с полученным нами разложением. Равенство верно.
Ответ: верно.

4) $7x^2 + x - 8 = (x + 1)(7x - 8)$
Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(7x - 8) = 7x^2 - 8x + 7x - 8 = 7x^2 - x - 8$. Это выражение не равно $7x^2 + x - 8$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.