Номер 4, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{5x - x^2 - 6}{x - 3}$. Укажите этот рисунок.

Чтобы определить, какой из рисунков изображает график функции $y = \frac{5x - x^2 - 6}{x - 3}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Нахождение области определения функции.

Функция представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$
Это означает, что функция не определена в точке $x = 3$, и на её графике в этом месте будет разрыв (так называемая "выколотая" точка). Из предложенных графиков только 2 и 4 имеют выколотую точку, следовательно, графики 1 и 3 не подходят.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель $5x - x^2 - 6$ на множители. Для удобства вынесем минус за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.
Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Подставим разложение числителя в исходную функцию:
$y = \frac{-(x - 2)(x - 3)}{x - 3}$
Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = -(x - 2)$
$y = -x + 2$

3. Анализ полученной линейной функции и выбор графика.

График исходной функции совпадает с графиком прямой $y = -x + 2$ за исключением точки при $x=3$.
Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$ является отрицательным, что означает, что функция убывающая. Графики 3 и 4 изображают возрастающие функции, поэтому они не подходят.
Таким образом, искомый график — это убывающая прямая с выколотой точкой. Этим условиям удовлетворяет только график под номером 2.
Для окончательной проверки найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x = 3$ в уравнение прямой $y = -x + 2$:
$y = -3 + 2 = -1$
Координаты выколотой точки — $(3; -1)$. На графике 2 мы видим, что точка с координатами $(3; -1)$ действительно выколота.

Ответ: 2