Номер 7, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 - 27x + 140}{x^2 - x - 42}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 27x + 140$. Для этого решим уравнение $x^2 - 27x + 140 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 140 = 729 - 560 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 13}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Следовательно, числитель можно представить в виде произведения:

$x^2 - 27x + 140 = (x - 7)(x - 20)$

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 42$. Для этого решим уравнение $x^2 - x - 42 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Следовательно, знаменатель можно представить в виде произведения:

$x^2 - x - 42 = (x - (-6))(x - 7) = (x + 6)(x - 7)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(x-7)$:

$\frac{x^2 - 27x + 140}{x^2 - x - 42} = \frac{(x - 7)(x - 20)}{(x + 6)(x - 7)} = \frac{x - 20}{x + 6}$

Сокращение возможно при условии, что $x-7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$.

Ответ: $\frac{x-20}{x+6}$