Номер 1, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{4,9}$, $\sqrt{490}$, $\sqrt{0,049}$, $\sqrt{0,0049}$ является рациональным?

1) $\sqrt{4,9}$

2) $\sqrt{490}$

3) $\sqrt{0,049}$

4) $\sqrt{0,0049}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень квадратный из неотрицательного числа является рациональным числом только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом некоторого рационального числа. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{4,9}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $4,9 = \frac{49}{10}$. Тогда $\sqrt{4,9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$. Поскольку 10 не является квадратом целого числа, $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Следовательно, и всё выражение $\frac{7}{\sqrt{10}}$ иррационально.

2) $\sqrt{490}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $490 = 49 \cdot 10 = 7^2 \cdot 10$. Тогда $\sqrt{490} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = 7\sqrt{10}$. Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, произведение $7\sqrt{10}$ также иррационально.

3) $\sqrt{0,049}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $0,049 = \frac{49}{1000}$. Тогда $\sqrt{0,049} = \sqrt{\frac{49}{1000}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{1000}} = \frac{7}{\sqrt{100 \cdot 10}} = \frac{7}{10\sqrt{10}}$. Наличие иррационального множителя $\sqrt{10}$ в знаменателе делает всё число иррациональным.

4) $\sqrt{0,0049}$

Представим подкоренное выражение в виде дроби: $0,0049 = \frac{49}{10000}$. Тогда $\sqrt{0,0049} = \sqrt{\frac{49}{10000}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10000}} = \frac{7}{100}$. Число $\frac{7}{100}$ (или 0,07) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Это единственное рациональное число из предложенных.

Ответ: 4) $\sqrt{0,0049}$