Номер 1, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из данных уравнений не имеет корней?

1) $\frac{x+3}{x-3} = 0$

2) $\frac{x+3}{x^2-9} = 0$

3) $\frac{x+3}{x^2+9} = 0$

4) $\frac{x+3}{x+3} = 1$

Чтобы определить, какое из данных уравнений не имеет корней, необходимо проанализировать каждое из них.

Дробно-рациональное уравнение вида $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) \neq 0. \end{cases}$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) $\frac{x+3}{x-3} = 0$

Приравниваем числитель к нулю и проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю.
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверка знаменателя при $x=-3$:
$x-3 = -3-3 = -6$.
Так как $-6 \neq 0$, то $x=-3$ является корнем уравнения.
Ответ: уравнение имеет корень.

2) $\frac{x+3}{x^2-9} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверяем знаменатель при найденном значении $x$:
$x^2-9 = (-3)^2 - 9 = 9-9 = 0$.
Поскольку при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль, это значение не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения. Других значений $x$, при которых числитель равен нулю, нет. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.

3) $\frac{x+3}{x^2+9} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:
$x+3=0 \implies x=-3$.
Проверяем знаменатель. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$), поэтому $x^2+9 \ge 9$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, $x=-3$ является корнем уравнения.
Ответ: уравнение имеет корень.

4) $\frac{x+3}{x+3} = 1$

Это равенство является верным для всех значений $x$, при которых выражение в левой части имеет смысл. Выражение определено, когда его знаменатель не равен нулю.
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.
Таким образом, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x=-3$. Уравнение имеет бесконечное множество корней.
Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней.

Проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что уравнение, которое не имеет корней, находится под номером 2.