Номер 9, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Упростите выражение

$\left(-\frac{1}{8}\right)^{-3} x^{-6} y^{-3} \cdot 8^{-1} x^{9} y^{-1}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения данного выражения сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: числовые коэффициенты, степени с основанием $x$ и степени с основанием $y$.

Исходное выражение: $(-\frac{1}{8})^{-3} x^{-6} y^{-3} \cdot 8^{-1} x^9 y^{-1}$

Сгруппируем множители:

$((-\frac{1}{8})^{-3} \cdot 8^{-1}) \cdot (x^{-6} \cdot x^9) \cdot (y^{-3} \cdot y^{-1})$

Теперь упростим каждую группу по отдельности.

1. Упростим числовые коэффициенты: $(-\frac{1}{8})^{-3} \cdot 8^{-1}$

Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(-\frac{1}{8})^{-3} = (-\frac{8}{1})^3 = (-8)^3 = -512$

Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$8^{-1} = \frac{1}{8}$

Перемножим полученные значения:

$-512 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{512}{8} = -64$

2. Упростим множители с переменной $x$: $x^{-6} \cdot x^9$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3$

3. Упростим множители с переменной $y$: $y^{-3} \cdot y^{-1}$

Аналогично, используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^{-3} \cdot y^{-1} = y^{-3+(-1)} = y^{-4}$

4. Объединим все упрощенные части.

Получаем выражение: $-64 \cdot x^3 \cdot y^{-4}$

5. Запишем результат без отрицательных показателей.

Для этого снова применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ к члену $y^{-4}$:

$y^{-4} = \frac{1}{y^4}$

Подставим это в наше выражение:

$-64 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{y^4} = -\frac{64x^3}{y^4}$

Ответ: $-\frac{64x^3}{y^4}$