Номер 12, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Найдите значение выражения

$\left(\frac{11}{b-5}-b-5\right) \cdot \frac{5-b}{b^2-12b+36}$, если $b=106$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого выполним действия по порядку.

1. Преобразуем выражение в скобках, приведя все его части к общему знаменателю $(b-5)$.

$ \left(\frac{11}{b-5} - b - 5\right) = \frac{11}{b-5} - (b+5) = \frac{11}{b-5} - \frac{(b+5)(b-5)}{b-5} $

Применим в числителе формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$ \frac{11 - (b^2 - 5^2)}{b-5} = \frac{11 - (b^2 - 25)}{b-5} = \frac{11 - b^2 + 25}{b-5} = \frac{36 - b^2}{b-5} $

2. Теперь упростим вторую дробь $ \frac{5-b}{b^2 - 12b + 36} $.

Знаменатель $ b^2 - 12b + 36 $ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

$ b^2 - 12b + 36 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = (b-6)^2 $

В числителе вынесем знак минус за скобку: $ 5-b = -(b-5) $.

Таким образом, вторая дробь принимает вид:

$ \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \frac{36 - b^2}{b-5} \cdot \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

Разложим числитель первой дроби $ 36 - b^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 36 - b^2 = (6-b)(6+b) $

Подставим это в произведение:

$ \frac{(6-b)(6+b)}{b-5} \cdot \frac{-(b-5)}{(b-6)^2} $

Сократим общий множитель $(b-5)$ в числителе и знаменателе:

$ (6-b)(6+b) \cdot \frac{-1}{(b-6)^2} $

Заметим, что $ 6-b = -(b-6) $. Подставим и упростим:

$ -(b-6)(b+6) \cdot \frac{-1}{(b-6)^2} = \frac{(b-6)(b+6)}{(b-6)^2} $

Сократим общий множитель $(b-6)$:

$ \frac{b+6}{b-6} $

4. Теперь подставим значение $ b = 106 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{106+6}{106-6} = \frac{112}{100} = 1.12 $

Ответ: 1.12