Номер 3, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 16x + 60$;

2) $12x^2 + 4x - 1$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 16x + 60 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=16, c=60$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 - 4}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 + 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -10$ и $x_2 = -6$ в формулу разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$x^2 + 16x + 60 = 1 \cdot (x - (-10))(x - (-6)) = (x + 10)(x + 6)$.

Ответ: $(x + 10)(x + 6)$.

Найдём корни квадратного уравнения $12x^2 + 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=12, b=4, c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{-4 - 8}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{-4 + 8}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{6}$ в формулу разложения:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$12x^2 + 4x - 1 = 12\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = 12\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right)$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, внесём множитель $12$ (представив его как $2 \cdot 6$) в скобки:

$12\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{6}\right) = \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(6\left(x - \frac{1}{6}\right)\right) = (2x + 1)(6x - 1)$.

Ответ: $(2x + 1)(6x - 1)$.