Номер 3, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{a^{19}};$

2) $\sqrt{-b^{11}};$

3) $\sqrt{x^{10}y^7}$, если $x < 0$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

Выражение $\sqrt{a^{19}}$ имеет смысл только при $a^{19} \ge 0$, что, учитывая нечетную степень, эквивалентно $a \ge 0$.

Представим $a^{19}$ как $a^{18} \cdot a$. Степень 18 является четной.

$\sqrt{a^{19}} = \sqrt{a^{18} \cdot a} = \sqrt{(a^9)^2 \cdot a}$

Используя свойство корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и $\sqrt{z^2} = |z|$, получаем:

$\sqrt{(a^9)^2 \cdot a} = \sqrt{(a^9)^2} \cdot \sqrt{a} = |a^9| \cdot \sqrt{a}$

Так как по области определения $a \ge 0$, то $a^9 \ge 0$, и следовательно, $|a^9| = a^9$.

Таким образом, $\sqrt{a^{19}} = a^9\sqrt{a}$.

Ответ: $a^9\sqrt{a}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{-b^{11}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-b^{11} \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства: $b^{11} \le 0$.

Так как степень нечетная, это условие выполняется при $b \le 0$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Представим $-b^{11}$ как произведение, содержащее множитель в четной степени.

$-b^{11} = b^{10} \cdot (-b)$. Так как $b \le 0$, то множитель $(-b) \ge 0$, и выражение имеет смысл.

$\sqrt{-b^{11}} = \sqrt{b^{10} \cdot (-b)} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{-b}$

Преобразуем $\sqrt{b^{10}}$:

$\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$

Поскольку $b \le 0$, то $b^5$ (нечетная степень) также будет меньше или равно нулю ($b^5 \le 0$).

Следовательно, по определению модуля, $|b^5| = -b^5$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{-b^{11}} = |b^5|\sqrt{-b} = -b^5\sqrt{-b}$.

Ответ: $-b^5\sqrt{-b}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{10}y^7}$ при условии $x < 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{10}y^7 \ge 0$.

Поскольку $x^{10} = (x^5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $y^7 \ge 0$. Так как степень 7 нечетная, это означает, что $y \ge 0$.

Теперь вынесем множители из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами.

$x^{10}y^7 = x^{10} \cdot y^6 \cdot y$

$\sqrt{x^{10}y^7} = \sqrt{x^{10} \cdot y^6 \cdot y} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^6} \cdot \sqrt{y}$

Используем правило $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

$\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$

$\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$

Теперь раскроем модули с учетом заданных условий.

По условию $x < 0$. Так как степень 5 нечетная, то $x^5 < 0$. Следовательно, $|x^5| = -x^5$.

Из области определения мы выяснили, что $y \ge 0$. Так как степень 3 нечетная, то $y^3 \ge 0$. Следовательно, $|y^3| = y^3$.

Подставим полученные выражения обратно:

$\sqrt{x^{10}y^7} = |x^5| \cdot |y^3| \cdot \sqrt{y} = (-x^5) \cdot y^3 \cdot \sqrt{y} = -x^5y^3\sqrt{y}$.

Ответ: $-x^5y^3\sqrt{y}$