Номер 3, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^{21}}$;

2) $\sqrt{9a^{18}b}$, если $a < 0$;

3) $\sqrt{x^{11}y^{11}}$, если $x \le 0, y \le 0$.

1)

Для того чтобы выражение $\sqrt{-m^{21}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^{21} \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $m^{21} \le 0$. Так как степень нечетная, это неравенство выполняется только при $m \le 0$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Представим $m^{21}$ как произведение $m^{20} \cdot m$: $\sqrt{-m^{21}} = \sqrt{-(m^{20} \cdot m)} = \sqrt{m^{20} \cdot (-m)}$.

Используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Поскольку $m^{20} = (m^{10})^2 \ge 0$ и $-m \ge 0$ (так как $m \le 0$), мы можем записать: $\sqrt{m^{20} \cdot (-m)} = \sqrt{m^{20}} \cdot \sqrt{-m}$.

Далее, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{m^{20}} = \sqrt{(m^{10})^2} = |m^{10}|$. Поскольку $m^{10}$ является четной степенью, $m^{10} \ge 0$ для любого $m$. Следовательно, $|m^{10}| = m^{10}$.

Собирая все вместе, получаем: $\sqrt{-m^{21}} = m^{10}\sqrt{-m}$.

Ответ: $m^{10}\sqrt{-m}$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{9a^{18}b}$ при условии $a < 0$. Подкоренное выражение $9a^{18}b$ должно быть неотрицательным. Так как $9 > 0$ и $a^{18} = (a^9)^2 \ge 0$ для любого $a$, то для выполнения условия $9a^{18}b \ge 0$ необходимо, чтобы $b \ge 0$.

Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{xyz} = \sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{z}$: $\sqrt{9a^{18}b} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{18}} \cdot \sqrt{b}$.

Вычислим каждый множитель отдельно: $\sqrt{9} = 3$. $\sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9|$.

По условию $a < 0$. Так как $a$ — отрицательное число, его нечетная степень $a^9$ также будет отрицательной ($a^9 < 0$). Следовательно, модуль этого выражения равен ему с противоположным знаком: $|a^9| = -a^9$.

Объединим полученные результаты: $3 \cdot (-a^9) \cdot \sqrt{b} = -3a^9\sqrt{b}$.

Ответ: $-3a^9\sqrt{b}$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{11}y^{11}}$ при условиях $x \le 0$ и $y \le 0$. Проверим, что подкоренное выражение неотрицательно. Его можно записать как $(xy)^{11}$. Поскольку $x \le 0$ и $y \le 0$, их произведение $xy \ge 0$. Нечетная степень неотрицательного числа также неотрицательна, поэтому $(xy)^{11} \ge 0$. Выражение имеет смысл.

Для вынесения множителей представим степени в виде произведения множителей с четными степенями: $\sqrt{x^{11}y^{11}} = \sqrt{(x^{10} \cdot x) \cdot (y^{10} \cdot y)} = \sqrt{x^{10}y^{10}xy}$.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{x^{10}y^{10}xy} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{10}} \cdot \sqrt{xy}$.

Упростим корни из четных степеней, используя $\sqrt{a^2}=|a|$: $\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$. $\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$.

По условию $x \le 0$, значит, его нечетная степень $x^5$ также будет неположительной ($x^5 \le 0$). Поэтому $|x^5| = -x^5$. Аналогично, по условию $y \le 0$, значит, $y^5 \le 0$, и $|y^5| = -y^5$.

Подставим полученные выражения обратно: $(-x^5) \cdot (-y^5) \cdot \sqrt{xy} = x^5y^5\sqrt{xy}$.

Ответ: $x^5y^5\sqrt{xy}$.