Номер 4, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $b\sqrt{-b^3}$;

2) $a^2b\sqrt{ab}$, если $b \le 0$.

1) $b\sqrt{-b^3}$

Чтобы внести множитель $b$ под знак корня, сначала определим область допустимых значений для переменной $b$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-b^3 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$b^3 \le 0$
Это неравенство выполняется только при $b \le 0$.

Поскольку множитель $b$ является неположительным числом ($b \le 0$), при внесении его под знак квадратного корня перед корнем ставится знак «минус», а сам множитель возводится в квадрат. Используем правило: если $c \le 0$, то $c\sqrt{x} = -\sqrt{c^2x}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$b\sqrt{-b^3} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b^3)} = -\sqrt{-b^{2+3}} = -\sqrt{-b^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-b^5}$.

2) $a^2b\sqrt{ab}$, если $b \le 0$

В этом выражении нужно внести множитель $a^2b$ под знак корня. Определим знак этого множителя, учитывая заданное условие $b \le 0$.

Множитель $a^2$ всегда неотрицателен, так как является квадратом числа, то есть $a^2 \ge 0$.
Множитель $b$ по условию неположителен, то есть $b \le 0$.
Следовательно, произведение $a^2b$ будет неположительным числом (произведение неотрицательного и неположительного числа): $a^2b \le 0$.

Так как множитель $a^2b$ неположителен, используем то же правило, что и в предыдущем пункте: $c\sqrt{x} = -\sqrt{c^2x}$ для $c \le 0$.
Вносим множитель $a^2b$ под знак корня:
$a^2b\sqrt{ab} = -\sqrt{(a^2b)^2 \cdot (ab)}$
Теперь упростим выражение под корнем:
$-\sqrt{(a^2b)^2 \cdot (ab)} = -\sqrt{(a^4b^2) \cdot (ab)} = -\sqrt{a^4 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = -\sqrt{a^5b^3}$.
(Отметим, что для существования корня $\sqrt{ab}$ при $b \le 0$ необходимо, чтобы $a \le 0$ (или $b=0$). Это не влияет на процесс внесения множителя, так как знак $a^2b$ уже определен).

Ответ: $-\sqrt{a^5b^3}$.