Номер 7, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Найдите значение выражения:

$\frac{1}{\sqrt{7} + 2} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} + \frac{1}{4 + \sqrt{13}}$

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, используя формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Сначала представим целые числа в знаменателях в виде квадратных корней, чтобы привести все слагаемые к единому виду: $2 = \sqrt{4}$ и $4 = \sqrt{16}$.

Исходное выражение можно переписать так:

$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{13}} $

Теперь последовательно упростим каждое слагаемое.

1. Первое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{4})}{(\sqrt{7} + \sqrt{4})(\sqrt{7} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{3} $

2. Второе слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} $

3. Третье слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{10})}{(\sqrt{13} + \sqrt{10})(\sqrt{13} - \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{13 - 10} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{3} $

4. Четвертое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{13}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{16} - \sqrt{13})}{(\sqrt{16} + \sqrt{13})(\sqrt{16} - \sqrt{13})} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{(\sqrt{16})^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{16 - 13} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Теперь сложим все полученные упрощенные дроби:

$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{3} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{3} + \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель $3$, сложим их числители:

$ \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{4}) + (\sqrt{10} - \sqrt{7}) + (\sqrt{13} - \sqrt{10}) + (\sqrt{16} - \sqrt{13})}{3} $

Раскроем скобки в числителе. Многие слагаемые взаимно уничтожаются:

$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4} + \sqrt{10} - \sqrt{7} + \sqrt{13} - \sqrt{10} + \sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Сгруппируем слагаемые, чтобы увидеть сокращение:

$ \frac{(-\sqrt{4} + \sqrt{16}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (\sqrt{10} - \sqrt{10}) + (\sqrt{13} - \sqrt{13})}{3} = \frac{-\sqrt{4} + \sqrt{16}}{3} $

Вычислим оставшиеся значения:

$ \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $