Номер 4, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $\sqrt{x-3} = -2;$

2) $x^2 + 6x = 0;$

3) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0.$

1) $\sqrt{x-3} = -2$

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это значит, что левая часть уравнения, $\sqrt{x-3}$, не может быть отрицательной. Правая часть уравнения равна -2. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Множество корней является пустым.

Ответ: $\emptyset$

2) $x^2 + 6x = 0$

Для решения этого неполного квадратного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x = 0$

или

$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$

Таким образом, множество корней уравнения состоит из двух элементов: -6 и 0.

Ответ: $\{-6, 0\}$

3) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0$

Дробное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x^2 + 6x \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение из первого условия:

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию (области допустимых значений). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + 6x \neq 0$

$x(x+6) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -6$.

Сравнивая потенциальные корни с ограничениями, мы видим, что $x = -6$ не является корнем уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень $x = 6$ удовлетворяет всем условиям.

Следовательно, множество корней уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{6\}$