Номер 5, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1,96m^{18}}$, если $m \geq 0;$

2) $\sqrt{a^4b^{22}c^{26}}$, если $b \geq 0, c \leq 0.$

1) Упростим выражение $\sqrt{1.96m^{18}}$ при условии, что $m \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{1.96m^{18}} = \sqrt{1.96} \cdot \sqrt{m^{18}}$

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt{1.96} = 1.4$, так как $1.4^2 = 1.96$.

Для второго множителя используем свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$.

$\sqrt{m^{18}} = \sqrt{(m^9)^2} = |m^9|$.

По условию задачи $m \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и любая его натуральная степень неотрицательна. Следовательно, $m^9 \ge 0$.

Для любого неотрицательного числа $x$ его модуль равен самому числу: $|x| = x$. Значит, $|m^9| = m^9$.

Теперь объединим полученные результаты:

$\sqrt{1.96m^{18}} = 1.4 \cdot m^9 = 1.4m^9$.

Ответ: $1.4m^9$.

2) Упростим выражение $\sqrt{a^4b^{22}c^{26}}$ при условии, что $b \ge 0$ и $c \le 0$.

Разложим корень из произведения на произведение корней:

$\sqrt{a^4b^{22}c^{26}} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^{22}} \cdot \sqrt{c^{26}}$

Упростим каждый множитель, используя свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$:

1. $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно (то есть $a^2 \ge 0$) для любого действительного числа $a$, то $|a^2| = a^2$.

2. $\sqrt{b^{22}} = \sqrt{(b^{11})^2} = |b^{11}|$. По условию $b \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и его нечетная степень $b^{11}$ будет неотрицательна ($b^{11} \ge 0$). Следовательно, $|b^{11}| = b^{11}$.

3. $\sqrt{c^{26}} = \sqrt{(c^{13})^2} = |c^{13}|$. По условию $c \le 0$. Если основание степени неположительно, то его нечетная степень $c^{13}$ также будет неположительна ($c^{13} \le 0$). Модуль неположительного числа равен этому числу, умноженному на -1: $|x| = -x$ при $x \le 0$. Следовательно, $|c^{13}| = -c^{13}$.

Перемножим полученные выражения:

$a^2 \cdot b^{11} \cdot (-c^{13}) = -a^2b^{11}c^{13}$.

Ответ: $-a^2b^{11}c^{13}$.