Номер 6, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Постройте график функции $y = 3\sqrt{x^2+1}$.

Для построения графика функции $y = 3\sqrt{x^2 + 1}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1$), поэтому функция определена для всех действительных чисел $x$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность

Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$y(-x) = 3\sqrt{(-x)^2 + 1} = 3\sqrt{x^2 + 1} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 3\sqrt{0^2 + 1} = 3\sqrt{1} = 3$.
Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.

Пересечение с осью OX (при $y=0$):
$3\sqrt{x^2 + 1} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как $\sqrt{x^2+1} \ge 1$. Следовательно, график не пересекает ось OX.

4. Монотонность и экстремумы

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:
$y' = (3\sqrt{x^2 + 1})' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$y' = 0 \Rightarrow \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = 0 \Rightarrow x=0$.
Определим знаки производной:
- Если $x < 0$, то $y' < 0$, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- Если $x > 0$, то $y' > 0$, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Следовательно, в точке $x=0$ находится точка минимума.
$y_{min} = y(0) = 3$.

5. Асимптоты и вид графика

График функции представляет собой верхнюю ветвь гиперболы. Чтобы убедиться в этом, преобразуем уравнение (учитывая, что $y>0$):
$y = 3\sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow y^2 = 9(x^2 + 1) \Rightarrow y^2 = 9x^2 + 9 \Rightarrow y^2 - 9x^2 = 9$.
Разделив обе части на 9, получим каноническое уравнение гиперболы:
$\frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{1^2} = 1$.
Это гипербола с центром в точке $(0;0)$ и вершинами в $(0; \pm 3)$. Так как в исходной функции $y = 3\sqrt{x^2+1} \ge 3$, мы берем только верхнюю ветвь с вершиной в точке $(0; 3)$.
Асимптоты этой гиперболы находятся из уравнения $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{1} = 0$, откуда $y = \pm 3x$.

6. Таблица значений и построение

Составим таблицу значений для нескольких точек, используя свойство четности функции:

Для построения графика в системе координат необходимо:
1. Построить асимптоты $y=3x$ и $y=-3x$.
2. Отметить вершину графика в точке $(0;3)$.
3. Отметить контрольные точки, например, $(\pm 1; 4.24)$ и $(\pm 2; 6.71)$.
4. Провести через точки плавную кривую, симметричную относительно оси OY, которая приближается к асимптотам при увеличении $|x|$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{x^2 + 1}$ — это верхняя ветвь гиперболы $\frac{y^2}{9} - x^2 = 1$ с вершиной в точке $(0; 3)$ и асимптотами $y=3x$ и $y=-3x$.