Номер 5, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите значение выражения $ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} $.

Чтобы найти значение выражения, мы будем использовать свойства степеней. Исходное выражение:

$$ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} $$

Для начала преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это свойство означает, что мы можем переместить множитель из числителя в знаменатель (и наоборот), изменив знак его показателя степени на противоположный.

$$ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} = \frac{30^6}{10^2 \cdot 15^4} $$

Теперь разложим основания степеней (30, 10 и 15) на простые множители, чтобы упростить выражение:

• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $15 = 3 \cdot 5$

Подставим эти разложения в наше выражение:

$$ \frac{(2 \cdot 3 \cdot 5)^6}{(2 \cdot 5)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4} $$

Далее применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ к числителю и знаменателю:

$$ \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{ (2^2 \cdot 5^2) \cdot (3^4 \cdot 5^4) } $$

В знаменателе сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^{2+4}} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^6} $$

Теперь применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания (2, 3 и 5):

$$ 2^{6-2} \cdot 3^{6-4} \cdot 5^{6-6} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^0 $$

Наконец, вычислим полученное выражение, помня, что любое число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$):

$$ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 9 = 144 $$

Ответ: 144