Номер 2, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какому из приведённых выражений тождественно равна разность $ \frac{a}{b(a-b)} - \frac{b}{a(a-b)} $?

1) $ \frac{1}{ab} $

2) $ \frac{1}{a-b} $

3) $ \frac{a+b}{ab} $

4) $ \frac{a-b}{ab} $

Для того чтобы определить, какому из предложенных выражений тождественно равна данная разность, необходимо выполнить вычитание дробей и упростить результат.

Исходное выражение:

$$ \frac{a}{b(a-b)} - \frac{b}{a(a-b)} $$

1. Приведение дробей к общему знаменателю.

Знаменатели дробей — это $b(a-b)$ и $a(a-b)$. Наименьшим общим знаменателем для них будет выражение $ab(a-b)$.

Приведём первую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $a$:

$$ \frac{a}{b(a-b)} = \frac{a \cdot a}{a \cdot b(a-b)} = \frac{a^2}{ab(a-b)} $$

Приведём вторую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:

$$ \frac{b}{a(a-b)} = \frac{b \cdot b}{b \cdot a(a-b)} = \frac{b^2}{ab(a-b)} $$

2. Вычитание дробей.

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

$$ \frac{a^2}{ab(a-b)} - \frac{b^2}{ab(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)} $$

3. Упрощение полученного выражения.

В числителе мы получили формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Подставим это разложение в нашу дробь:

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} $$

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(a-b)}(a+b)}{ab\cancel{(a-b)}} = \frac{a+b}{ab} $$

Таким образом, исходная разность тождественно равна выражению $\frac{a+b}{ab}$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{a+b}{ab}$