Номер 3, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1) $\frac{8a^2 + 5}{a} + \frac{2a^2 - 5}{a}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$\frac{8a^2 + 5 + 2a^2 - 5}{a} = \frac{(8a^2 + 2a^2) + (5 - 5)}{a} = \frac{10a^2}{a}$

Сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{10a^2}{a} = 10a$

Ответ: $10a$

2) $\frac{2 - 7x}{x - 6} + \frac{9x - 4}{x - 6} - \frac{46 - 6x}{x - 6}$

Все дроби имеют общий знаменатель, поэтому выполним действия с числителями:

$\frac{(2 - 7x) + (9x - 4) - (46 - 6x)}{x - 6} = \frac{2 - 7x + 9x - 4 - 46 + 6x}{x - 6}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-7x + 9x + 6x) + (2 - 4 - 46)}{x - 6} = \frac{8x - 48}{x - 6}$

Вынесем общий множитель 8 в числителе:

$\frac{8(x - 6)}{x - 6}$

Сократим дробь на $(x - 6)$ (при условии, что $x \neq 6$):

$8$

Ответ: $8$

3) $\frac{9b + 5}{b^2 - 9} - \frac{8b + 8}{b^2 - 9}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычтем из первого числителя второй:

$\frac{(9b + 5) - (8b + 8)}{b^2 - 9} = \frac{9b + 5 - 8b - 8}{b^2 - 9}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(9b - 8b) + (5 - 8)}{b^2 - 9} = \frac{b - 3}{b^2 - 9}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{b - 3}{(b - 3)(b + 3)}$

Сократим дробь на $(b - 3)$ (при условии, что $b \neq 3$):

$\frac{1}{b + 3}$

Ответ: $\frac{1}{b + 3}$

4) $\frac{13 - 6x}{(x - 3)(2 - x)} + \frac{4 - x^2}{(x - 3)(x - 2)}$

Заметим, что множители в знаменателях $(2 - x)$ и $(x - 2)$ отличаются только знаком: $(2 - x) = -(x - 2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x - 2)$. Для этого в первой дроби вынесем знак минус из скобки $(2 - x)$:

$\frac{13 - 6x}{(x - 3)(-(x - 2))} + \frac{4 - x^2}{(x - 3)(x - 2)} = -\frac{13 - 6x}{(x - 3)(x - 2)} + \frac{4 - x^2}{(x - 3)(x - 2)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним действия с числителями:

$\frac{-(13 - 6x) + (4 - x^2)}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{-13 + 6x + 4 - x^2}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{-x^2 + 6x - 9}{(x - 3)(x - 2)}$

Вынесем знак минус в числителе за скобки:

$\frac{-(x^2 - 6x + 9)}{(x - 3)(x - 2)}$

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

$\frac{-(x - 3)^2}{(x - 3)(x - 2)}$

Сократим дробь на $(x - 3)$ (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{-(x - 3)}{x - 2} = \frac{3 - x}{x - 2}$

Ответ: $\frac{3 - x}{x - 2}$