Номер 3, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сократите дробь:

1) $\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5}$;

2) $\frac{7m - 28mn}{7mn}$;

3) $\frac{5a - 15b}{9b - 3a}$;

4) $\frac{a^2 - 10a + 25}{4a - 20}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители.
Сначала сократим числовые коэффициенты 42 и 56. Их наибольший общий делитель равен 14.
$\frac{42}{56} = \frac{14 \cdot 3}{14 \cdot 4} = \frac{3}{4}$.
Далее сократим степени переменных, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Для переменной $a$: $\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$.
Для переменной $b$: $\frac{b^3}{b^5} = b^{3-5} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.
Объединив все части, получаем:
$\frac{42a^4b^3}{56a^3b^5} = \frac{3a}{4b^2}$.
Ответ: $\frac{3a}{4b^2}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{7m-28mn}{7mn}$ сначала вынесем общий множитель в числителе за скобки.
Общим множителем для $7m$ и $28mn$ является $7m$.
$7m-28mn = 7m(1-4n)$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{7m(1-4n)}{7mn}$.
Теперь мы можем сократить общий множитель $7m$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{7m}(1-4n)}{\cancel{7m}n} = \frac{1-4n}{n}$.
Ответ: $\frac{1-4n}{n}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{5a-15b}{9b-3a}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5: $5a-15b = 5(a-3b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3: $9b-3a = 3(3b-a)$.
Дробь примет вид: $\frac{5(a-3b)}{3(3b-a)}$.
Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(3b-a) = -(a-3b)$.
Заменим выражение в знаменателе:
$\frac{5(a-3b)}{3(-(a-3b))} = \frac{5(a-3b)}{-3(a-3b)}$.
Теперь сократим общий множитель $(a-3b)$: $\frac{5\cancel{(a-3b)}}{-3\cancel{(a-3b)}} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{a^2-10a+25}{4a-20}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2-10a+25$ является полным квадратом разности и может быть свернут по формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
$a^2-10a+25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$.
В знаменателе $4a-20$ вынесем за скобки общий множитель 4:
$4a-20 = 4(a-5)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a-5)^2}{4(a-5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$:
$\frac{(a-5)\cancel{^2}}{4\cancel{(a-5)}} = \frac{a-5}{4}$.
Ответ: $\frac{a-5}{4}$.