Номер 3, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сократите дробь:

1) $\frac{36m^6n^7}{45m^7n^5};$

2) $\frac{6a - 18ab}{6ab};$

3) $\frac{7x - 28y}{8y - 2x};$

4) $\frac{b^2 + 12b + 36}{5b + 30}.$

1) Для сокращения дроби $ \frac{36m^6n^7}{45m^7n^5} $ разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты 36 и 45 на их наибольший общий делитель, который равен 9: $ \frac{36}{45} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{4}{5} $. Затем сократим степени переменных, используя правило $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $. Для переменной $m$: $ \frac{m^6}{m^7} = m^{6-7} = m^{-1} = \frac{1}{m} $. Для переменной $n$: $ \frac{n^7}{n^5} = n^{7-5} = n^2 $. Собрав все вместе, получаем: $ \frac{36m^6n^7}{45m^7n^5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{m} \cdot n^2 = \frac{4n^2}{5m} $.

Ответ: $ \frac{4n^2}{5m} $

2) В дроби $ \frac{6a - 18ab}{6ab} $ сначала вынесем общий множитель в числителе. Общий множитель для $6a$ и $18ab$ равен $6a$. Получаем: $ 6a - 18ab = 6a(1 - 3b) $. Теперь подставим это выражение обратно в дробь: $ \frac{6a(1 - 3b)}{6ab} $. Сократим общий множитель $6a$ в числителе и знаменателе: $ \frac{\cancel{6a}(1 - 3b)}{\cancel{6a}b} = \frac{1 - 3b}{b} $.

Ответ: $ \frac{1 - 3b}{b} $

3) Рассмотрим дробь $ \frac{7x - 28y}{8y - 2x} $. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель 7: $ 7x - 28y = 7(x - 4y) $. В знаменателе общий множитель 2: $ 8y - 2x = 2(4y - x) $. Дробь принимает вид: $ \frac{7(x - 4y)}{2(4y - x)} $. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $ x - 4y = -(4y - x) $. Подставим это в дробь: $ \frac{7 \cdot (-(4y - x))}{2(4y - x)} = \frac{-7(4y - x)}{2(4y - x)} $. Теперь можно сократить общий множитель $(4y - x)$, в результате чего получим $ -\frac{7}{2} $.

Ответ: $ -\frac{7}{2} $

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{b^2 + 12b + 36}{5b + 30} $, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $ b^2 + 12b + 36 $ является полным квадратом, который раскладывается по формуле $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $. В нашем случае $ b^2 + 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = (b+6)^2 $. В знаменателе $ 5b + 30 $ вынесем общий множитель 5 за скобки: $ 5(b + 6) $. Теперь дробь выглядит так: $ \frac{(b+6)^2}{5(b+6)} = \frac{(b+6)(b+6)}{5(b+6)} $. Сокращаем общий множитель $ (b+6) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{b+6}{5} $.

Ответ: $ \frac{b+6}{5} $