Номер 3, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сократите дробь:

1) $\frac{8y - 16x^2y}{8y^2}$;

2) $\frac{x^3 + 4x^2}{x^2 - 16}$;

3) $\frac{(a + b)^2 - (a - b)(a + b)}{a^2b + ab^2}$;

4) $\frac{3ab + 3a + 2b + 2}{2b - 2 + 3ab - 3a}$.

1)
Чтобы сократить дробь $ \frac{8y - 16x^2y}{8y^2} $, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $8y$:
$8y - 16x^2y = 8y(1 - 2x^2)$.
Знаменатель представим в виде произведения: $8y^2 = 8y \cdot y$.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{8y(1 - 2x^2)}{8y \cdot y} $.
Сократим общий множитель $8y$:
$ \frac{1 - 2x^2}{y} $.
Ответ: $ \frac{1 - 2x^2}{y} $.

2)
Рассмотрим дробь $ \frac{x^3 + 4x^2}{x^2 - 16} $.
Разложим числитель на множители, вынеся за скобки $x^2$:
$x^3 + 4x^2 = x^2(x + 4)$.
Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.
Теперь дробь имеет вид:
$ \frac{x^2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} $.
Сократим общий множитель $(x + 4)$:
$ \frac{x^2}{x - 4} $.
Ответ: $ \frac{x^2}{x - 4} $.

3)
Рассмотрим дробь $ \frac{(a + b)^2 - (a - b)(a + b)}{a^2b + ab^2} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$:
$(a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a + b) \cdot ((a + b) - (a - b)) = (a + b) \cdot (a + b - a + b) = (a + b) \cdot 2b = 2b(a + b)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ab$:
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{2b(a + b)}{ab(a + b)} $.
Сократим общие множители $b$ и $(a + b)$:
$ \frac{2}{a} $.
Ответ: $ \frac{2}{a} $.

4)
Рассмотрим дробь $ \frac{3ab + 3a + 2b + 2}{2b - 2 + 3ab - 3a} $.
Разложим числитель на множители методом группировки:
$3ab + 3a + 2b + 2 = (3ab + 3a) + (2b + 2) = 3a(b + 1) + 2(b + 1) = (3a + 2)(b + 1)$.
Разложим знаменатель на множители, также сгруппировав слагаемые:
$2b - 2 + 3ab - 3a = (3ab - 3a) + (2b - 2) = 3a(b - 1) + 2(b - 1) = (3a + 2)(b - 1)$.
Перепишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$ \frac{(3a + 2)(b + 1)}{(3a + 2)(b - 1)} $.
Сократим общий множитель $(3a + 2)$:
$ \frac{b + 1}{b - 1} $.
Ответ: $ \frac{b + 1}{b - 1} $.