Номер 5, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$.

Для построения графика функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$ необходимо сначала проанализировать и упростить её выражение.

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому необходимо исключить значения $x$, при которых $4 - x^2 = 0$.
$x^2 \neq 4$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Следовательно, область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Числитель: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель: $4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$.
Подставим полученные выражения в исходную функцию:
$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{-(x - 2)(x + 2)}$

3. Сократим дробь.
Так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, мы можем сократить общие множители $(x - 2)$ и $(x + 2)$ в числителе и знаменателе:
$y = \frac{x}{-1} = -x$.
Таким образом, график исходной функции представляет собой график линейной функции $y = -x$ с ограничениями, накладываемыми областью определения.

4. Определим координаты "выколотых" точек.
График нашей функции совпадает с графиком прямой $y = -x$ во всех точках, кроме тех, где $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках на графике будут разрывы, которые изображаются в виде пустых кружочков ("выколотых" точек).
Найдём координаты этих точек, подставив соответствующие значения $x$ в упрощенную функцию $y = -x$:

• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Координаты первой выколотой точки: $(-2; 2)$.
• При $x = 2$, $y = -(2) = -2$. Координаты второй выколотой точки: $(2; -2)$.

5. Построение графика.
Строим прямую $y = -x$. Это прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей и проходит через начало координат $(0;0)$. Затем на этой прямой отмечаем пустыми кружочками точки с координатами $(-2; 2)$ и $(2; -2)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^3 - 4x}{4 - x^2}$ является прямая $y = -x$, из которой исключены (выколоты) точки с координатами $(-2; 2)$ и $(2; -2)$.