Номер 3, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сократите дробь:

1) $\frac{9a - 27a^3b}{9a^2}$;

2) $\frac{n^2 - 9}{n^3 - 3n^2}$;

3) $\frac{(x - y)(x + y) - (x - y)^2}{xy^3 - y^4}$;

4) $\frac{ac + b + a + bc}{am - 2b - 2a + bm}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{9a - 27a^3b}{9a^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общий множитель для $9a$ и $27a^3b$ это $9a$.

$\frac{9a(1 - 3a^2b)}{9a^2}$

Теперь сократим общий множитель $9a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{9a}(1 - 3a^2b)}{\cancel{9a} \cdot a} = \frac{1 - 3a^2b}{a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a^2b}{a}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{n^2 - 9}{n^3 - 3n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $n^2 - 9$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2 - 9 = (n - 3)(n + 3)$

В знаменателе $n^3 - 3n^2$ вынесем общий множитель $n^2$ за скобки:

$n^3 - 3n^2 = n^2(n - 3)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(n - 3)(n + 3)}{n^2(n - 3)}$

Сократим общий множитель $(n - 3)$:

$\frac{\cancel{(n - 3)}(n + 3)}{n^2\cancel{(n - 3)}} = \frac{n + 3}{n^2}$

Ответ: $\frac{n + 3}{n^2}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(x - y)(x + y) - (x - y)^2}{xy^3 - y^4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x + y) - (x - y)^2 = (x - y)((x + y) - (x - y)) = (x - y)(x + y - x + y) = (x - y)(2y)$

В знаменателе вынесем общий множитель $y^3$ за скобки:

$xy^3 - y^4 = y^3(x - y)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{2y(x - y)}{y^3(x - y)}$

Сократим общие множители $y$ и $(x - y)$:

$\frac{2\cancel{y}\cancel{(x - y)}}{y^{\cancel{3}}y^2\cancel{(x - y)}} = \frac{2}{y^2}$

Ответ: $\frac{2}{y^2}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{ac + b + a + bc}{am - 2b - 2a + bm}$, разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

В числителе сгруппируем слагаемые:

$ac + b + a + bc = (ac + a) + (b + bc) = a(c + 1) + b(1 + c) = (a + b)(c + 1)$

В знаменателе сгруппируем слагаемые:

$am - 2b - 2a + bm = (am + bm) - (2b + 2a) = m(a + b) - 2(b + a) = (a + b)(m - 2)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a + b)(c + 1)}{(a + b)(m - 2)}$

Сократим общий множитель $(a + b)$:

$\frac{\cancel{(a + b)}(c + 1)}{\cancel{(a + b)}(m - 2)} = \frac{c + 1}{m - 2}$

Ответ: $\frac{c + 1}{m - 2}$