Страница 13 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите, какое из данных выражений является дробным.

1) $4x + 5$

2) $4x + \frac{1}{5}$

3) $4x + \frac{y}{5}$

4) $4x + \frac{5}{y}$

Дробным рациональным выражением называется такое выражение, которое содержит деление на переменную (то есть переменная находится в знаменателе дроби). Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $4x + 5$

Это выражение является целым, так как представляет собой многочлен. Оно не содержит операции деления на переменную.

2) $4x + \frac{1}{5}$

Это выражение также является целым. Хотя оно содержит дробь $\frac{1}{5}$, ее знаменатель является числом, а не переменной.

3) $4x + \frac{y}{5}$

Это выражение является целым. В дроби $\frac{y}{5}$ переменная $y$ находится в числителе, а знаменателем является число 5. Данное выражение является многочленом от двух переменных.

4) $4x + \frac{5}{y}$

Это выражение является дробным, поскольку оно содержит дробь $\frac{5}{y}$, в знаменателе которой находится переменная $y$. Наличие переменной в знаменателе является ключевым признаком дробного выражения.

Следовательно, единственное дробное выражение из перечисленных — это выражение под номером 4.

Ответ: 4

2. Укажите, какое из данных выражений является рациональной дробью.

1) $\frac{x}{6} - x^2$

2) $(a - b)^2 + \frac{1}{c}$

3) $\frac{mn - 3k}{2a}$

4) $\frac{a}{2b} - \frac{a}{7c}$

Рациональная дробь (или дробно-рациональное выражение) — это выражение, которое можно представить в виде дроби $ \frac{P}{Q} $, где $ P $ и $ Q $ — многочлены, причем многочлен $ Q $ (знаменатель) содержит переменную и не является нулевым многочленом.

Рассмотрим каждое из предложенных выражений:

1) $ \frac{x}{6} - x^2 $

Это выражение является многочленом (полиномом). Оно не содержит операции деления на выражение с переменной, так как знаменатель 6 является числом. Такие выражения называются целыми рациональными выражениями. Следовательно, это не является рациональной дробью (в значении дробно-рационального выражения).

2) $ (a-b)^2 + \frac{1}{c} $

Это выражение содержит деление на переменную $ c $, поэтому оно является дробно-рациональным. Однако оно представлено в виде суммы многочлена и дроби, а не в виде одной рациональной дроби. Его можно привести к виду единой дроби: $ (a-b)^2 + \frac{1}{c} = \frac{c(a-b)^2 + 1}{c} $.

3) $ \frac{mn - 3k}{2a} $

Это выражение записано в виде дроби. Его числитель $ mn - 3k $ является многочленом. Его знаменатель $ 2a $ также является многочленом и содержит переменную $ a $. Данное выражение полностью соответствует определению рациональной дроби и представлено в её каноническом виде $ \frac{P}{Q} $.

4) $ \frac{a}{2b} - \frac{a}{7c} $

Это выражение является дробно-рациональным, так как содержит деление на переменные $ b $ и $ c $. Однако оно представлено в виде разности двух дробей, а не одной. Его можно привести к виду единой дроби: $ \frac{a}{2b} - \frac{a}{7c} = \frac{7ac - 2ab}{14bc} $.

Вопрос просит указать, какое из выражений является рациональной дробью. Хотя выражения 2, 3 и 4 являются дробно-рациональными, только выражение под номером 3 представлено непосредственно в виде одной рациональной дроби. Поэтому оно является наиболее точным ответом.

Ответ: 3.

3. Найдите значение выражения:

1) $\frac{x-4}{x+5}$, если $x = -4$;

2) $\frac{a+b}{a-b}$, если $a = 10, b = 6$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{x-4}{x+5}$ при $x = -4$, подставим значение $x$ в выражение:

$\frac{-4-4}{-4+5} = \frac{-8}{1} = -8$

Ответ: -8

2) Для нахождения значения выражения $\frac{a+b}{a-b}$ при $a=10$ и $b=6$, подставим значения $a$ и $b$ в выражение:

$\frac{10+6}{10-6} = \frac{16}{4} = 4$

Ответ: 4

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{x - 6}{x - 4}$;

2) $\frac{9}{x - 2} + \frac{7}{x - 5}$;

3) $\frac{x^2 + 9}{x^2 - 9}$?

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, имеет смысл тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Это связано с тем, что операция деления на ноль в математике не определена.

1) $\frac{x - 6}{x - 4}$
Данное выражение имеет смысл, если его знаменатель $x - 4$ не равен нулю.
Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 4$.
Ответ: при $x \neq 4$.

2) $\frac{9}{x - 2} + \frac{7}{x - 5}$
Это выражение является суммой двух дробей. Оно будет иметь смысл только в том случае, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.
Для первой дроби знаменатель $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Для второй дроби знаменатель $x - 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.
Оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$ и $x = 5$.
Ответ: при $x \neq 2$ и $x \neq 5$.

3) $\frac{x^2 + 9}{x^2 - 9}$
Данное выражение имеет смысл, если его знаменатель $x^2 - 9$ не равен нулю.
Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 9 = 0$
Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x = 3$ или $x = -3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 3$ и $x = -3$.
Ответ: при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

5. Известно, что $4x - 8y = 3$. Найдите значение выражения $\frac{3x - 6y}{5}$.

По условию задачи дано уравнение $4x - 8y = 3$. Необходимо найти значение выражения $\frac{3x - 6y}{5}$.

Рассмотрим данное уравнение $4x - 8y = 3$. В левой части можно вынести за скобки общий множитель 4:
$4(x - 2y) = 3$

Из этого равенства можно выразить значение разности $(x - 2y)$, разделив обе части на 4:
$x - 2y = \frac{3}{4}$

Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти. Рассмотрим его числитель: $3x - 6y$. Здесь можно вынести за скобки общий множитель 3:
$3x - 6y = 3(x - 2y)$

Таким образом, всё выражение можно переписать в виде:
$\frac{3x - 6y}{5} = \frac{3(x - 2y)}{5}$

Мы уже знаем, что $x - 2y = \frac{3}{4}$. Подставим это значение в преобразованное выражение:
$\frac{3 \cdot (\frac{3}{4})}{5} = \frac{\frac{9}{4}}{5}$

Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить знаменатель дроби на это число:
$\frac{9}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$

Полученную дробь можно также представить в десятичном виде: $\frac{9}{20} = 0.45$.

Ответ: $\frac{9}{20}$.