Номер 3, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Найдите значение выражения

$1 - \frac{9}{16} a^{-1} b^{-10} \cdot \left( \frac{1}{4} ab^{-3} \right)^{-3}$

при $a=2, b = -\frac{1}{5}$.

Для начала упростим данное выражение. Переведем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь подставим их в исходное выражение:

$\frac{25}{16}a^{-1}b^{-10} \cdot \left(\frac{5}{4}ab^{-3}\right)^{-3}$

Раскроем скобки, применив свойство степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$\left(\frac{5}{4}ab^{-3}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-3} \cdot a^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3} \cdot a^{-3} \cdot b^{(-3) \cdot (-3)} = \frac{4^3}{5^3}a^{-3}b^9 = \frac{64}{125}a^{-3}b^9$

Теперь умножим полученное выражение на первую часть исходного выражения:

$\frac{25}{16}a^{-1}b^{-10} \cdot \frac{64}{125}a^{-3}b^9$

Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$\left(\frac{25}{16} \cdot \frac{64}{125}\right) \cdot (a^{-1} \cdot a^{-3}) \cdot (b^{-10} \cdot b^9)$

Упростим каждую группу, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$

$a^{-1} \cdot a^{-3} = a^{-1-3} = a^{-4}$

$b^{-10} \cdot b^9 = b^{-10+9} = b^{-1}$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$\frac{4}{5}a^{-4}b^{-1} = \frac{4}{5a^4b}$

Теперь подставим в него заданные значения $a = 2$ и $b = -\frac{1}{5}$:

$\frac{4}{5 \cdot (2)^4 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{4}{5 \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{5})}$

Сократим 5 и $-\frac{1}{5}$ в знаменателе:

$\frac{4}{16 \cdot (5 \cdot (-\frac{1}{5}))} = \frac{4}{16 \cdot (-1)} = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$