Номер 1, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,25}$, $\sqrt{0,025}$, $\sqrt{250}$, $\sqrt{25000}$ является рациональным?

1) $\sqrt{0,25}$

2) $\sqrt{0,025}$

3) $\sqrt{250}$

4) $\sqrt{25000}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень квадратный из некоторого числа будет рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом другого рационального числа. Проверим каждое из предложенных чисел.

1) $\sqrt{0,25}$
Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Число $0,5$ является рациональным, так как это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $\frac{1}{2}$.
Ответ: рациональное.

2) $\sqrt{0,025}$
Представим десятичную дробь $0,025$ в виде обыкновенной дроби: $0,025 = \frac{25}{1000}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{0,025} = \sqrt{\frac{25}{1000}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{1000}} = \frac{5}{\sqrt{100 \cdot 10}} = \frac{5}{10\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{10}}$.
Поскольку $10$ не является полным квадратом, $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Следовательно, все выражение является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

3) $\sqrt{250}$
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат: $250 = 25 \cdot 10$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{10} = 5\sqrt{10}$.
Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, то и $5\sqrt{10}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

4) $\sqrt{25000}$
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат: $25000 = 2500 \cdot 10$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{25000} = \sqrt{2500 \cdot 10} = \sqrt{2500} \cdot \sqrt{10} = 50\sqrt{10}$.
Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, то и $50\sqrt{10}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

Среди предложенных вариантов только число $\sqrt{0,25}$ является рациональным.