Номер 6, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

А) $x^2 + x + 6 = 0$

Б) $x^2 + x - 6 = 0$

В) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Множество корней

1) $\{2, 3\}$

2) $\{2, -3\}$

3) $\{-3, -2\}$

4) $\{-2, 3\}$

5) $\emptyset$

Для того чтобы установить соответствие, необходимо решить каждое уравнение из левого столбца и найти множество его корней.

А) $x^2 + x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=1$, $c=6$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней — пустое множество ($\varnothing$).

Это соответствует варианту 5).

Ответ: 5

Б) $x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=1$, $c=-6$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Множество корней уравнения: $\{2, -3\}$.

Это соответствует варианту 2).

Ответ: 2

В) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=5$, $c=6$. Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$.
В нашем случае: $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Проверим: $(-2) + (-3) = -5$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$. Корни найдены верно.
Множество корней уравнения: $\{-3, -2\}$.

Это соответствует варианту 3).

Ответ: 3