Номер 7, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 2. Контрольные работы - номер 7, страница 107.
№7 (с. 107)
Условие. №7 (с. 107)
скриншот условия

7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2+2(a+4)x+16=0$ имеет два различных корня?
Решение. №7 (с. 107)
Данное уравнение $ax^2 + 2(a + 4)x + 16 = 0$ имеет два различных корня, если оно является квадратным и его дискриминант строго больше нуля.
1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным $2(0+4)x + 16 = 0$, или $8x+16=0$, и имеет только один корень $x=-2$.
2. Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле $D=B^2-4AC$. Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$.
Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=a$, $B=2(a+4)$, $C=16$.
Вычислим дискриминант:
$D = (2(a+4))^2 - 4 \cdot a \cdot 16 = 4(a+4)^2 - 64a$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$D = 4(a^2 + 8a + 16) - 64a = 4a^2 + 32a + 64 - 64a = 4a^2 - 32a + 64$
Теперь решим неравенство $D > 0$:
$4a^2 - 32a + 64 > 0$
Разделим обе части неравенства на 4:
$a^2 - 8a + 16 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности:
$(a - 4)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $a - 4 = 0$, то есть при $a=4$. Следовательно, строгое неравенство $(a - 4)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a=4$.
Таким образом, мы получили два условия, которые должны выполняться одновременно:
$a \neq 0$ и $a \neq 4$.
Это означает, что параметр $a$ может быть любым действительным числом, кроме 0 и 4.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 107 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 107), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.