Номер 7, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 7, страница 107.

Условие.

7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2+2(a+4)x+16=0$ имеет два различных корня?

Решение.

Данное уравнение $ax^2 + 2(a + 4)x + 16 = 0$ имеет два различных корня, если оно является квадратным и его дискриминант строго больше нуля.

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным $2(0+4)x + 16 = 0$, или $8x+16=0$, и имеет только один корень $x=-2$.

2. Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле $D=B^2-4AC$. Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=a$, $B=2(a+4)$, $C=16$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2(a+4))^2 - 4 \cdot a \cdot 16 = 4(a+4)^2 - 64a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 4(a^2 + 8a + 16) - 64a = 4a^2 + 32a + 64 - 64a = 4a^2 - 32a + 64$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$4a^2 - 32a + 64 > 0$

Разделим обе части неравенства на 4:

$a^2 - 8a + 16 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности:

$(a - 4)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a - 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $a - 4 = 0$, то есть при $a=4$. Следовательно, строгое неравенство $(a - 4)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a=4$.

Таким образом, мы получили два условия, которые должны выполняться одновременно:

$a \neq 0$ и $a \neq 4$.

Это означает, что параметр $a$ может быть любым действительным числом, кроме 0 и 4.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.