Номер 2, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 107.

Условие.

2. Сократите дробь $\frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{a\sqrt{a} + 64}$.

Решение.

Чтобы сократить дробь $\frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{a\sqrt{a} + 64}$, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Рассмотрим знаменатель дроби: $a\sqrt{a} + 64$.

Представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $a\sqrt{a}$ можно записать как $a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2} = (a^{1/2})^3 = (\sqrt{a})^3$, а $64$ — как $4^3$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде суммы кубов: $(\sqrt{a})^3 + 4^3$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Применив эту формулу к нашему знаменателю, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 4$, получим:

$a\sqrt{a} + 64 = (\sqrt{a} + 4)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 4 + 4^2) = (\sqrt{a} + 4)(a - 4\sqrt{a} + 16)$.

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{a\sqrt{a} + 64} = \frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{(\sqrt{a} + 4)(a - 4\sqrt{a} + 16)}$

Мы видим, что выражение $(a - 4\sqrt{a} + 16)$ является общим множителем для числителя и знаменателя. Сократим дробь на этот множитель:

$\frac{\cancel{a - 4\sqrt{a} + 16}}{(\sqrt{a} + 4)\cancel{(a - 4\sqrt{a} + 16)}} = \frac{1}{\sqrt{a} + 4}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + 4}$