Номер 2, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 106.

Условие.

2. Решите уравнение

$\frac{10}{x^2 - 100} + \frac{x - 20}{x^2 + 10x} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0$

Решение.

2.Исходное уравнение:$$ \frac{10}{x^2 - 100} + \frac{x-20}{x^2 + 10x} - \frac{5}{x^2 - 10x} = 0 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели дробей обращаются в ноль.
$x^2 - 100 \neq 0 \implies (x-10)(x+10) \neq 0 \implies x \neq 10$ и $x \neq -10$.
$x^2 + 10x \neq 0 \implies x(x+10) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -10$.
$x^2 - 10x \neq 0 \implies x(x-10) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 10$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 10$, $x \neq -10$.

Для решения уравнения приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 100 = (x-10)(x+10)$
$x^2 + 10x = x(x+10)$
$x^2 - 10x = x(x-10)$
Общий знаменатель равен $x(x-10)(x+10)$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:$$ \frac{10x}{x(x-10)(x+10)} + \frac{(x-20)(x-10)}{x(x-10)(x+10)} - \frac{5(x+10)}{x(x-10)(x+10)} = 0 $$

Так как сумма дробей с одинаковым знаменателем равна нулю, когда их числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ), получаем уравнение:$$ 10x + (x-20)(x-10) - 5(x+10) = 0 $$

Раскроем скобки:
$10x + x^2 - 10x - 20x + 200 - 5x - 50 = 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + (10 - 10 - 20 - 5)x + (200 - 50) = 0$
$x^2 - 25x + 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$, $x \neq 10$, $x \neq -10$).
Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ, так как это значение обращает в ноль знаменатели $x^2-100$ и $x^2-10x$. Следовательно, $x=10$ — посторонний корень.
Единственным решением уравнения является $x=15$.
Ответ: 15