Номер 3, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 2. Контрольные работы - номер 3, страница 105.

Условие.

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 10x - 4 = 0$.

Не решая уравнения, найдите значение выражения $x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1$.

Решение.

Для решения этой задачи, не находя сами корни уравнения, воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$.

Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней ($x_1$ и $x_2$) связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для данного уравнения $x^2 + 10x - 4 = 0$ коэффициенты равны:
$a = 1, b = 10, c = -4$.

Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{10}{1} = -10$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти. Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки:
$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в полученное выражение:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-4) \cdot (-10) = 40$

Ответ: 40