Номер 9, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа. Вариант 2. Контрольные работы - номер 9, страница 104.

Условие.

9. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$(x+6)\sqrt{x-18a}=0.$

Решение.

Данное уравнение $(x+6)\sqrt{x-18a}=0$ равносильно системе, в которой один из множителей равен нулю, а подкоренное выражение неотрицательно.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-18a \geq 0$, откуда $x \geq 18a$.

При выполнении ОДЗ произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x+6=0 \Rightarrow x_1=-6$
2) $\sqrt{x-18a}=0 \Rightarrow x-18a=0 \Rightarrow x_2=18a$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Для корня $x_1=-6$: он является решением, если удовлетворяет ОДЗ, то есть $-6 \geq 18a$. Разделив обе части на 18, получим $a \leq -\frac{6}{18}$, что равносильно $a \leq -\frac{1}{3}$.

Для корня $x_2=18a$: он всегда удовлетворяет ОДЗ, так как неравенство $18a \geq 18a$ является верным для любого значения $a$.

Рассмотрим итоговое решение в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < -1/3$

В этом случае условие $a \leq -1/3$ выполняется, поэтому $x=-6$ является корнем. Корень $x=18a$ также является решением. Так как $a < -1/3$, то $18a < -6$, следовательно, корни различны. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x=-6; 18a$.

При $a = -1/3$

Условие $a \leq -1/3$ выполняется, поэтому $x=-6$ является корнем. Корень $x=18a$ при $a=-1/3$ равен $18 \cdot (-1/3) = -6$. В этом случае корни совпадают. Уравнение имеет один корень.
Ответ: $x=-6$.

При $a > -1/3$

Условие $a \leq -1/3$ не выполняется, поэтому $x=-6$ не является корнем, так как не удовлетворяет ОДЗ. Единственным решением остается $x=18a$.
Ответ: $x=18a$.