Номер 5, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 2. Контрольные работы - номер 5, страница 105.

Условие.

5. Решите уравнение $|x^2 - 4x - 6| = 2x + 3.$

Решение.

Данное уравнение $|x^2 - 4x - 6| = 2x + 3$ является уравнением вида $|f(x)| = g(x)$.

Такое уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей:

$ \begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ [x^2 - 4x - 6 = 2x + 3 \\ x^2 - 4x - 6 = -(2x + 3) \end{cases} $

Сначала решим неравенство, чтобы определить условие, которому должны удовлетворять корни уравнения:

$2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

Теперь решим два уравнения, составляющие совокупность.

1. Решим первое уравнение:

$x^2 - 4x - 6 = 2x + 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 2x - 6 - 3 = 0$

$x^2 - 6x - 9 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$

$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$

2. Решим второе уравнение:

$x^2 - 4x - 6 = -(2x + 3)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x - 6 = -2x - 3$

$x^2 - 4x + 2x - 6 + 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим по теореме Виета: сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни легко находятся:

$x_3 = 3$

$x_4 = -1$

3. Проверка корней:

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли все четыре найденных корня условию $x \ge -1.5$.

Для $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$: так как $3 > -1.5$ и $3\sqrt{2} > 0$, то их сумма $3 + 3\sqrt{2} > -1.5$. Корень подходит.

Для $x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$: оценим значение. $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25}$, то $4 < 3\sqrt{2} < 5$. Тогда $3-5 < 3-3\sqrt{2} < 3-4$, то есть $-2 < 3-3\sqrt{2} < -1$. Поскольку значение корня приблизительно равно $-1.24$, а $-1.24 > -1.5$, корень подходит.

Для $x_3 = 3$: очевидно, что $3 > -1.5$. Корень подходит.

Для $x_4 = -1$: очевидно, что $-1 > -1.5$. Корень подходит.

Все четыре корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3 - 3\sqrt{2}; -1; 3; 3 + 3\sqrt{2}$.