Номер 6, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 105.

Условие.

6. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a+1)x + a^2 - 3a = 0$ равно 4?

Решение.

Данное уравнение $x^2 + (a + 1)x + a^2 - 3a = 0$ является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x$ равен $p = a+1$, а свободный член $q = a^2 - 3a$.

Согласно теореме Виета, произведение корней ($x_1$ и $x_2$) приведённого квадратного уравнения равно его свободному члену:$x_1 \cdot x_2 = q = a^2 - 3a$

По условию задачи, произведение корней равно 4. Приравниваем выражение для произведения корней к 4:$a^2 - 3a = 4$

Переносим 4 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно параметра $a$:$a^2 - 3a - 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти его корни, например, с помощью разложения на множители или через дискриминант. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем два числа, сумма которых равна 3, а произведение равно -4. Это числа 4 и -1. Таким образом, получаем два возможных значения для параметра $a$:$a_1 = 4$, $a_2 = -1$.

Однако, чтобы говорить о произведении корней, необходимо, чтобы эти корни существовали в поле действительных чисел. Условием существования действительных корней у квадратного уравнения является неотрицательность его дискриминанта ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 + (a + 1)x + a^2 - 3a = 0$:$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3a) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 14a + 1$

Теперь проверим, при каких из найденных значений $a$ дискриминант $D$ будет неотрицательным.

1. При $a = 4$:$D = -3(4)^2 + 14(4) + 1 = -3 \cdot 16 + 56 + 1 = -48 + 57 = 9$Так как $D = 9 > 0$, при $a = 4$ уравнение имеет два действительных корня. Это значение нам подходит.

2. При $a = -1$:$D = -3(-1)^2 + 14(-1) + 1 = -3 \cdot 1 - 14 + 1 = -16$Так как $D = -16 < 0$, при $a = -1$ уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, это значение нам не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором произведение корней уравнения равно 4, это 4.

Ответ: $4$