Номер 8, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 8, страница 104.

Условие.

8. Найдите область определения функции $y = \sqrt{10-x} + \frac{x-5}{3-\sqrt{x}}$

Решение.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для данной функции $y = \sqrt{10 - x} + \frac{x - 5}{3 - \sqrt{x}}$ должны одновременно выполняться три условия:

1. Подкоренное выражение в первом слагаемом должно быть неотрицательным, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел.
2. Подкоренное выражение во втором слагаемом также должно быть неотрицательным.
3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Сформулируем эти условия в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} 10 - x \ge 0 \\ x \ge 0 \\ 3 - \sqrt{x} \ne 0 \end{cases} $

Решим каждое условие системы по отдельности:

1) $10 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$10 \ge x$, или $x \le 10$.

2) $x \ge 0$

Это условие уже в готовом виде.

3) $3 - \sqrt{x} \ne 0$

Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть:

$3 \ne \sqrt{x}$

Возведем обе части в квадрат:

$3^2 \ne (\sqrt{x})^2$

$9 \ne x$.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных решений. Мы имеем $x \le 10$ и $x \ge 0$, что соответствует числовому промежутку $[0, 10]$. Также мы должны исключить из этого промежутка точку $x=9$.

Исключение точки $9$ из отрезка $[0, 10]$ разбивает его на два интервала: $[0, 9)$ и $(9, 10]$.

Таким образом, область определения функции является объединением этих двух промежутков.

Ответ: $x \in [0, 9) \cup (9, 10]$.