Номер 4, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета - номер 4, страница 105.

Условие.

4. Составьте уравнение, корни которого на 2 меньше корней уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Решение.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Использование теоремы Виета

Сначала рассмотрим исходное уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма и произведение его корней равны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Пусть корни нового, искомого уравнения — $y_1$ и $y_2$. По условию задачи, они на 2 меньше корней исходного уравнения. Значит:

$y_1 = x_1 - 2$

$y_2 = x_2 - 2$

Чтобы составить новое квадратное уравнение, нам нужно найти сумму и произведение его корней ($y_1 + y_2$ и $y_1 \cdot y_2$).

Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4$.

Подставляем известное значение $x_1 + x_2 = 4$:

$y_1 + y_2 = 4 - 4 = 0$.

Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$.

Подставляем известные значения $x_1 \cdot x_2 = 1$ и $x_1 + x_2 = 4$:

$y_1 \cdot y_2 = 1 - 2(4) + 4 = 1 - 8 + 4 = -3$.

Теперь, используя теорему, обратную теореме Виета, составим новое уравнение. Если сумма корней равна $S$, а произведение равно $P$, то уравнение имеет вид $y^2 - Sy + P = 0$.

В нашем случае $S = 0$ и $P = -3$. Подставляем эти значения:

$y^2 - (0)y + (-3) = 0$, что упрощается до $y^2 - 3 = 0$.

Обычно в уравнениях используется переменная $x$, поэтому искомое уравнение — $x^2 - 3 = 0$.

Способ 2. Метод замены переменной

Пусть $x$ — это корень исходного уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Пусть $y$ — это корень нового уравнения. По условию, $y$ на 2 меньше, чем $x$. Это можно записать как:

$y = x - 2$.

Из этого соотношения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 2$.

Теперь мы можем подставить это выражение для $x$ в исходное уравнение. Так как $x$ является его корнем, то равенство будет верным. Эта подстановка даст нам новое уравнение, корнями которого будут значения $y$.

Подставляем $x = y + 2$ в $x^2 - 4x + 1 = 0$:

$(y + 2)^2 - 4(y + 2) + 1 = 0$.

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(y^2 + 4y + 4) - (4y + 8) + 1 = 0$

$y^2 + 4y + 4 - 4y - 8 + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (4y - 4y) + (4 - 8 + 1) = 0$

$y^2 + 0 - 3 = 0$

$y^2 - 3 = 0$.

Заменив переменную $y$ на общепринятую $x$, мы получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 3 = 0$.