Номер 2, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 105.

Условие.

2. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Решение.

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, а $d$ — его диагональ. Все размеры указаны в сантиметрах.

Согласно условию задачи, диагональ на 6 см больше одной стороны и на 3 см больше другой. Запишем это в виде системы уравнений:

$d = a + 6$

$d = b + 3$

Выразим стороны $a$ и $b$ через диагональ $d$:

$a = d - 6$

$b = d - 3$

Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим выражения для $a$ и $b$ в уравнение теоремы Пифагора:

$(d - 6)^2 + (d - 3)^2 = d^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(d^2 - 2 \cdot d \cdot 6 + 6^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 3 + 3^2) = d^2$

$(d^2 - 12d + 36) + (d^2 - 6d + 9) = d^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2d^2 - 18d + 45 = d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2d^2 - d^2 - 18d + 45 = 0$

$d^2 - 18d + 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно 45, а сумма равна 18. Это числа 3 и 15.

Корни уравнения: $d_1 = 3$ и $d_2 = 15$.

Проверим каждый из найденных корней:

1. Если диагональ $d = 3$ см, то одна из сторон будет $a = d - 6 = 3 - 6 = -3$ см. Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Если диагональ $d = 15$ см, то найдем стороны прямоугольника:

$a = d - 6 = 15 - 6 = 9$ см

$b = d - 3 = 15 - 3 = 12$ см

Оба значения положительны, что соответствует условию. Проверим по теореме Пифагора: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$, и $15^2 = 225$. Равенство $225 = 225$ верное.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.