Номер 4, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа - номер 4, страница 104.

Условие.

4. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{11a^2}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt{-a^9}$;

3) $\sqrt{-a^{10}b^5}$, если $a > 0$.

Решение.

1) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{11a^2} $ при условии $ a \le 0 $.

Используем свойство корня $ \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} $ для $ x \ge 0, y \ge 0 $. В нашем случае $ 11 > 0 $ и $ a^2 \ge 0 $, поэтому мы можем записать:

$ \sqrt{11a^2} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{a^2} $

По определению квадратного корня, $ \sqrt{a^2} = |a| $. Таким образом, выражение становится:

$ \sqrt{11} \cdot |a| $

По условию задачи, $ a \le 0 $. По определению модуля, если число неположительное, его модуль равен противоположному числу: $ |a| = -a $ при $ a \le 0 $.

Подставляем это в наше выражение:

$ \sqrt{11} \cdot (-a) = -a\sqrt{11} $

Ответ: $ -a\sqrt{11} $

2) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-a^9} $.

Для того чтобы выражение под корнем имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ -a^9 \ge 0 $. Умножив обе части на -1, получаем $ a^9 \le 0 $, что означает $ a \le 0 $.

Представим подкоренное выражение в виде произведения, выделив множитель с наибольшей возможной четной степенью:

$ -a^9 = a^8 \cdot (-a) $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{-a^9} = \sqrt{a^8 \cdot (-a)} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{-a} $

Поскольку $ a \le 0 $, то $ -a \ge 0 $, и корень $ \sqrt{-a} $ определен.

Упростим $ \sqrt{a^8} $:

$ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| $

Так как степень 4 является четной, выражение $ a^4 $ всегда неотрицательно ($ a^4 \ge 0 $). Следовательно, $ |a^4| = a^4 $.

Собираем все вместе:

$ \sqrt{-a^9} = a^4\sqrt{-a} $

Ответ: $ a^4\sqrt{-a} $

3) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-a^{10}b^5} $ при условии $ a > 0 $.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ -a^{10}b^5 \ge 0 $.

По условию $ a > 0 $, значит $ a^{10} > 0 $. Тогда неравенство принимает вид $ -(\text{положительное число}) \cdot b^5 \ge 0 $, что эквивалентно $ -b^5 \ge 0 $. Умножив на -1, получаем $ b^5 \le 0 $, откуда следует, что $ b \le 0 $.

Представим подкоренное выражение, выделив множители с четными степенями:

$ -a^{10}b^5 = a^{10} \cdot b^4 \cdot (-b) $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{-a^{10}b^5} = \sqrt{a^{10} \cdot b^4 \cdot (-b)} = \sqrt{a^{10}} \cdot \sqrt{b^4} \cdot \sqrt{-b} $

Так как $ b \le 0 $, то $ -b \ge 0 $, и корень $ \sqrt{-b} $ определен.

Упростим корни из множителей с четными степенями:

$ \sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5| $

$ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| $

Теперь раскроем модули с учетом условий.
Так как $ a > 0 $, то $ a^5 > 0 $, следовательно, $ |a^5| = a^5 $.
Выражение $ b^2 $ всегда неотрицательно ($ b^2 \ge 0 $), поэтому $ |b^2| = b^2 $.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$ |a^5| \cdot |b^2| \cdot \sqrt{-b} = a^5 \cdot b^2 \cdot \sqrt{-b} = a^5b^2\sqrt{-b} $

Ответ: $ a^5b^2\sqrt{-b} $