Номер 5, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Неравенства - номер 5, страница 103.

Условие.

5. Постройте график функции $y = |2x + 6| - x$.

Решение.

Для построения графика функции $y = |2x + 6| - x$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Найдем точку, в которой подмодульное выражение $2x+6$ меняет знак:

$2x + 6 = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

Теперь рассмотрим два интервала: $x \ge -3$ и $x < -3$.

1. При $x \ge -3$

Подмодульное выражение $2x + 6$ будет неотрицательным, поэтому $|2x + 6| = 2x + 6$.

Функция принимает вид:

$y = (2x + 6) - x = x + 6$.

На этом промежутке график функции совпадает с графиком прямой $y = x + 6$.

2. При $x < -3$

Подмодульное выражение $2x + 6$ будет отрицательным, поэтому $|2x + 6| = -(2x + 6) = -2x - 6$.

Функция принимает вид:

$y = (-2x - 6) - x = -3x - 6$.

На этом промежутке график функции совпадает с графиком прямой $y = -3x - 6$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \ge -3 \\ -3x - 6, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, которые соединяются в точке с абсциссой $x = -3$. Найдем ординату этой точки "излома", подставив $x = -3$ в первое уравнение:

$y = -3 + 6 = 3$.

Вершина графика находится в точке $(-3; 3)$.

Для построения каждого луча найдем по одной дополнительной точке:

• Для луча $y = x + 6$ (при $x \ge -3$) возьмем $x = 0$: $y = 0 + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
• Для луча $y = -3x - 6$ (при $x < -3$) возьмем $x = -4$: $y = -3(-4) - 6 = 12 - 6 = 6$. Точка $(-4; 6)$.

Искомый график — это два луча, выходящие из точки $(-3; 3)$. Один луч проходит через точку $(0; 6)$, а другой — через точку $(-4; 6)$.

Ответ: График функции представляет собой два луча, сходящихся в точке $(-3; 3)$. При $x \ge -3$ график описывается уравнением $y = x+6$, а при $x < -3$ — уравнением $y = -3x-6$.