Номер 8, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 2. Контрольные работы - номер 8, страница 102.

Условие.

8. Чему может быть равен $\text{НОД} (a; b)$, если $a = 14n + 7$, $b = 21n + 13$?

Решение.

Пусть $d = \text{НОД}(a; b)$, где $a = 14n + 7$ и $b = 21n + 13$.

Согласно свойствам наибольшего общего делителя, если число $d$ является делителем чисел $a$ и $b$, то оно также является делителем их любой линейной комбинации вида $xa + yb$, где $x$ и $y$ — целые числа.

Подберем коэффициенты $x$ и $y$ таким образом, чтобы исключить переменную $n$. Для этого можно домножить $a$ на 3 и $b$ на 2:

$3a = 3(14n + 7) = 42n + 21$

$2b = 2(21n + 13) = 42n + 26$

Теперь $d$ должно делить разность $2b - 3a$:

$2b - 3a = (42n + 26) - (42n + 21) = 42n + 26 - 42n - 21 = 5$

Поскольку $d$ является делителем числа 5, то $d$ может быть равен только натуральным делителям числа 5. Делителями числа 5 являются 1 и 5.

Следовательно, $\text{НОД}(a; b)$ может быть равен 1 или 5.

Проверим, могут ли эти значения достигаться при некоторых целых $n$.

1. Может ли НОД(a; b) быть равен 5?
Для этого необходимо, чтобы и $a$, и $b$ делились на 5. Проверим, например, при $n = 2$:
$a = 14(2) + 7 = 28 + 7 = 35$
$b = 21(2) + 13 = 42 + 13 = 55$
$\text{НОД}(35; 55) = 5$. Значит, значение 5 возможно.

2. Может ли НОД(a; b) быть равен 1?
Проверим, например, при $n = 1$:
$a = 14(1) + 7 = 21$
$b = 21(1) + 13 = 34$
$\text{НОД}(21; 34) = 1$, так как у них нет общих простых делителей ($21 = 3 \cdot 7$, $34 = 2 \cdot 17$). Значит, значение 1 также возможно.

Таким образом, наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ может быть равен 1 или 5.

Ответ: 1 или 5.