Номер 3, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 2. Контрольные работы - номер 3, страница 102.

Условие.

3. Вместо звёздочки подставьте такую цифру, чтобы число $6472\ast$ делилось нацело на $36$.

Решение.

Для того чтобы число $6472*$ делилось нацело на 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, поскольку $36 = 4 \times 9$, а числа 4 и 9 являются взаимно простыми.

1. Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4. В данном случае это число $2*$. Чтобы число $2*$ делилось на 4, вместо звёздочки могут стоять следующие цифры:
- 0, так как 20 делится на 4 ($20 \div 4 = 5$).
- 4, так как 24 делится на 4 ($24 \div 4 = 6$).
- 8, так как 28 делится на 4 ($28 \div 4 = 7$).
Следовательно, возможные значения для $*$ — это 0, 4 или 8.

2. Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр числа $6472*$:
$S = 6 + 4 + 7 + 2 + * = 19 + *$

Теперь необходимо выбрать из возможных цифр (0, 4, 8) ту, при которой сумма цифр $19 + *$ будет делиться на 9.
- Если $* = 0$, то сумма цифр $19 + 0 = 19$. Число 19 не делится на 9.
- Если $* = 4$, то сумма цифр $19 + 4 = 23$. Число 23 не делится на 9.
- Если $* = 8$, то сумма цифр $19 + 8 = 27$. Число 27 делится на 9 ($27 \div 9 = 3$).

Таким образом, единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям — это 8. Искомое число — 64728.

Ответ: 8